1樓：We are
中間推導過程有些結論比較顯見，所以不太完整，見諒，只是說下我的思路。設菱形對角線交點為O，過B1作B1H垂直與AB交AB於H，連線CH，OH。所要求的二面角，是二面角C-AB-B1的補角。
也就是角CHB1的補角。設AO=1，所以OB1=1，OB=sqrt3，OH=sqrt3 /2，tan角OHB1=2/ sqrt3。 (tanOHB1)^2=4/3。
cos角CHB1=cos2倍角OHB1=(1-4/3)/(1+4/3)=-1/7。所以所要求的二面角的余弦等於1/7。
2樓：Elevayn-Sherly
啊……這個我做出來了……因為我一般都是經典做法做，這個很簡單:
記地面兩條對角線交點為o，連AO
已知AB⊥B1C，又因為AC＝AB1,AO⊥B1C，故面ABO⊥底面。
設線段co＝x，AO＝co＝x,AC＝√2x,AC＝AB1＝AC1＝√2x，因為AO⊥BO，AB＝B1C＝A1A＝2x，AC＝AC1＝√2x，B1C1＝2x
過A,C1向AB1做垂線，由向量法可知，垂足交於一點D，故，∠ADC1為二面角。
由面積法可知AD＝AC1＝4／√28，在三角形ADC1中，由餘弦定理可知cos∠ADC1＝1/7
3樓：Elaaaaaric
還是決定來說點和本題相關的題外話。
今年6月。我參加浙江省數學高考閱卷、本人學幾何、老闆立體幾何組組長、我也就改立體幾何。改卷過程中的那些嚴（he）謹（he）的事我就不說了。
今年浙江省立體幾何尤為簡單：第一問證明線面垂直、第二問求乙個二面角就好。乙個星期、我改了13000多份、我改得非常認真、以至於改得慢還被老師批評！
這都不是重點。重點是幾乎98%的人用建系向量法做的！經典傳統法10人做、估計錯7人。。。
暑假母命難辭、我被迫輔導乙個高二的小朋友學數學。立體幾何高一就要求學了、基本概念說清楚、講例題、然後就是練。他在做題之餘、我便百無聊賴的看起了近幾年各省份的高考題關於立體幾何題目部分。
哇！不看不知道、各省高考立體幾何都以「建系」為光榮！不給牆角不舒服！
後來我教他向量法之後、他卻說：「好了你不用講了、以後我全用向量法做、反正就是計算！！」
反！正！就！是！計！算！
兩件事讓我思索這就是學習立體幾何的意義麼？可是我認為這就違背了學習立體幾何的意義。
1．降低了學生的和空間想像能力：
立體幾何第一次把學生從平面抽象到了空間、目的是培養學生的空間想象能力。可是有了向量後、一切歸結於計算、乙個二面角只要四個點的座標（兩個點在稜上、另外兩個點分別在不同面上）我也就能給你算出來啦。學生根本不用思考這個二面角怎麼去找、怎樣去畫、怎樣在立體上去刻畫這個二面角。
這個空間的思維過程就這樣被忽略了。
2. 邏輯思維能力：
若用經典傳統法、免不了清清楚楚寫因為所以或者推出、對學生的邏輯思維表達能力是很有很有幫助的！！（其實到今天的很多大學生、有多少能夠清清楚楚、邏輯清晰、有理有據的表達自己的想法、我見太多是連話都說不清楚的同學。）
3．後續學習、鋪墊作用：
畫圖！畫圖！畫圖！幾何體做不出來！首先圖形沒畫到位！
作圖作為乙個人數學的基本素養、現在的學生的畫圖能力真是不能看！不敢看！！
本來立體幾何從平面到空間、在空間想像力基礎上、能有幾個把圖畫出來？
向量法、連垂線輔助線都不用作的。。。。
上學期我帶解析幾何助教：什麼馬鞍面、旋轉拋物面、單葉雙曲面、橢球面、那是畫得是一塌糊塗、開花開朵、百花齊放~
這學期我帶數學分析助教：一道三重積分題目、空間圖形影象畫不出來、你還積什麼分哦、積分區域你都找不到。
4. 降低了趣味性：
機械的計算不如好好想象一下其中的奧妙。
等體積法、等面積法、還有其他方法都是很有意思的。
最後、我認同向量是作為現代的基礎和基石、的確向量法會給學習做題帶來很多方便、相比經典傳統法更為複雜更為難。
但是一切痛都是值得的
這是我學這麼多年數學深刻領悟到的，不要走捷徑、任何值得擁有的東西都沒有捷徑可以走。
經典傳統法更難所以更能訓練空間想象和邏輯思維。
嗯、就醬。
4樓：
這個問題可真是深得我心啊，當年高中立體幾何時可是能不建系就不建系啊。
這個題目用我不建系教的經典方法，等體積法，我覺得最為簡單。
還是只看第二問，不妨試。題目求的角就等價於求平面和平面的夾角。我們來算三稜錐的體積。
因為長度知道了，利用勾股定理能證明垂直於(是的中心)，因此：
相當好算的對吧。
另一方面，
的面積是容易求出的，因為三邊是，面積可以算出是
這樣，解得
其中h是到的距離。
然後呢，在平面內過向引垂線，也就是三角形的一條高，高的長度可以用等面積算出來是。
這樣的話，二面角的正弦值就是
余弦值就是
多謝題主給我個機會重新做高考題，也算找回來一點點當年的感覺，既然這樣，今晚就腦洞大開的大鬧一發吧！
再給乙個更加幾何的做法。
在平面內過向引垂線，也就是上文中的已經可以算出是
現在過向平面引垂線，垂足為.那麼要知道二面角，要麼算出的長度，要麼算出到交線的距離.
上文的方法是利用等體積求出了的長度，這次呢我們來算一下到交線的距離，順便讓大家看看到底在哪.這裡的方法也是不建系教的乙個經典方法，就是沒名字。。
首先再來，記是的中點，在等邊三角形中有，
於是上面兩個最後的垂直關係都是在平面ABC中的，這樣我們在平面ABC中重新考慮這個問題，根據這兩個關係，就可以確定H是兩條垂線的焦點。重新畫個圖：
大學幾乎就沒再做平面幾何題，好久沒用幾何畫板了。。
說明一下，P是延長MH和CA的交點，L是H到AB的垂足
下面的事情就是平面幾何的事情了，如果有人在這裡說要建系還是要pia飛的，說好的不建系啊！
這裡我們要算的是HL.注意到，並且容易算出
因此，所以只要求PH就好了.
下面利用三角形相似，
就有MC已經知道是1，那麼在直角三角形PMC中，可以解出
AC也已知，因此
都帶進去，就有
因此因此二面角余弦就是
p.s.感覺回答到這個程度已經超出了知乎的要求，也超出了題主的要求了吧。。
不為別的，只是為了發現一下對當年高中的懷念，那真是。。最壞的年代，卻也是最好的年代——之前回過乙個平面幾何問題也有些許這種感覺，但沒那麼強烈，因為畢竟還是用到了一些高等代數裡面的東西——高三的時候跟同桌變著法的做數學卷子，一次次的考試毫無意義但又充滿樂趣地關心自己的名次，還有每天中午在學校待到靜校為了給喜歡的女生講題還有和她一起回家路過一片薔薇花。。感謝題主。。
5樓：
個人意見，這題用經典解法很難。。。。
因為在這個二面角中，因為沒有明顯的垂直關係可以利用，所以導致很難找到明顯的線面垂直關係，很難用三垂線定理找到平面角。如果從兩個面分別向交線的同乙個點作垂線的話得到的三角形很難算出第三條邊的長度，無法用餘弦定理計算出平面角大小。
下面是題外話:
在現在的高中數學中，與空間向量法計算二面角已經是立體幾何大題的標準解法了。在題目中往往都設有很容易建立空間直角座標系的點（在這道題中為BB1C1的兩條對角線的交點，可記為O），而且空間向量法的集體步驟十分固定，熟練之後這一問是很簡單的。
從出題思路上講，當設定了這一問用空間向量法的解法之後，很可能就沒有留出經典解法的線索，也就是說，現在的立體幾何大題，幾乎都可以很容易找到乙個適合建立空間直角座標系的點，但不一定能夠容易找到二面角的平面角。所以，不要過多的糾結於二面角的經典解法
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