1樓：mcxzx
我想題主肯定是在講隱式曲面方程：滿足方程 的點 的集合曲面，對該函式求偏導所得向量 法於曲面上的向量
其實推導過程很簡單：
【切矢與曲線】
首先對曲線引數式關於其引數求導得到的就是該曲線的切矢，這個可以作為其定義。而切矢切於曲線自身這事是很顯然的，我們可以對其進行分析：
假設有曲線 ，其切矢我們可以靠借助乙個座標系 （這裡只證3維但很容易推廣到任意可數維度）來分析它：此曲線在該座標系下就有其引數式 ，其在 處的切矢 就是 ，為驗證其切於曲線，我們可以給 的座標加上一點無窮小的切矢分量即： 記作 ，其它座標也如此，根據導數的定義：
，我們可以把 消去即： ，其它分量也如此 ...。可以看到如果給該曲線座標加上無窮小切矢分量後還在曲線上代表切矢確實是切於曲線的，表明切矢式子的合理性。
【引入】
(約定符號 代表空間 中的乙個實值函式（標量場）， 代表求梯度)
我們看到 （完整地寫是： ， 是 點的向量）代表標量場 在（ 點處） 方向的變化率。要驗證這個其實很簡單（已知就可以略過了）：
【變化率命題推導】
假設有乙個曲線 ， ， 為曲線 的引數，可以把該曲線想象為乙個觀者， 就是該觀者手上秒錶的讀數。我們要求該曲線在0點處對應的點為點 ，其的切矢為 （我們需要借助乙個座標系 來描述它），代表該觀者在秒錶讀數為0時速度為 。此時我們還有乙個遍布全空間（或在 鄰域有定義）的實值函式（標量場） （每點給出乙個實數），並要求其可導。
我們可以把 理解為空間中分布的溫度場。那麼該觀者在秒錶讀數為 處「感受」到的「溫度」則是 。我們想知道該觀者在秒錶讀數為 時感受到的溫度變化率，也就是溫度場在該觀者運動方向的變化率即：
，借用之前的座標系，我們可以將該式子根據鏈式法則展開：
注意到 ， ，於是我們就可以把原式寫為： ，證畢
【結果為法矢的原因】
可以看到 ，代表標量場 在（ 點處） 方向的變化率。
回到我們的隱式曲面方程： ，假設 ， 同時是該隱式曲面的一點，那麼我們假設曲面上有條(可導的)曲線 且 ，根據「曲面上」的條件，可得 ，我們同時在兩邊對該式子在 點求導得： ，套用先前的結論得：
，其中 為曲線 在 處的切矢。由於曲線在曲面上，切矢切於曲線，因此切矢同時也切於曲面自身。而由於 可以在曲面上隨便走，因此 可以取遍所有切於曲面的向量，而所有這些切於曲面的向量 與 的內積都為0代表它與這些曲面切矢都正交，而 自身非0，因此我們就逼出了 法於該曲面。
【微分幾何對任意微分流形的證明】(該證明對任意維數的微分流形上的光滑（可微也行）隱式超曲面都成立)
警告，該處涉及到大量微分幾何內容
首先有 為 上的（光滑）標量場，其隱式超曲面
回顧一下切空間的定義：任意微分流形 上 上的向量 為 上的線性泛函： （具有線性性 ），且滿足該點的萊布尼茲律： 。 上的全體向量構成其切叢
我們可以自然地把 上的光滑函式 誘導到 上( )通過 ， ，這樣我們就可以自然地把 嵌入 上建立子流形關係： ，我們稱 是切於 的向量
定義 為上的對偶向量場 ，，不難證明其關於每個 上切空間（其切叢的纖維）是線性的，滿足其上對偶向量場的定義。
設 是 上的任意導數算符，則 （靠定義，且因此它與導數算符選取無關），若 是某座標系 的適配導數算符，那麼可證明 和 是相等的，因此就是 的偏導
我們可以發現 (根據 的定義)是 上的零函式，因此任意切於 的向量 對 的縮並（作用） （向量定義時的線性性保證結果為 ），因此 與任意切於 的向量正交，又由於 ，因此必然法於 ，只在 上取值時稱之為曲面 的法（餘）矢場。在定義 上的度規 後自然有其對應的向量場 ，這就是曲面 的法矢場。
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