1樓：謎之槍兵X
首先，構造性地給出乙個將任意整多面體剖分為整四面體的方法。先將每個面剖分為整三角形（顯然可以做到），再任選乙個整點（是不是頂點無所謂），以這個點和所有面剖分出的每個三角形建立乙個四面體，剖分完成。（當然這樣的話，可能有的四面體對整個體積的貢獻會是負數，但是這也無所謂，因為不管正負號如何，「是否整數的六分之一」的性質不會變。
）然後就只需要證明整四面體的體積都是整數的六分之一了。顯然整四面體的體積是對應的整平行六面體體積的六分之一，而整平行六面體的體積是乙個整矩陣的行列式的絕對值，是一些整數的乘積之和，顯然也是整數。
用同樣的方法可證明 維空間的整多胞體體積必為整數的 分之一：證明將任意整多胞體剖分為整單純形（例如二維的三角形，三維的四面體，四維的五胞體，……）的方法的存在性，只需要用上面的手段（剖分每乙個 -胞，再選乙個整頂點），再對 數學歸納即可；而 維整單純形的體積總是對應的 維整平行 胞體的體積的 （證明留作練習），即整矩陣行列式的 ，即整數的 。
此外，不存在整數 使 維整多胞體的體積總是整數的 。原因也很簡單：原點和每個座標軸上的單位點總是組成體積為 的單純形。
2樓：法國球
是的。乙個簡短的證明如下：
固定整四面體的三個頂點，把第四個頂點從乙個整點挪到另乙個整點，把這樣的操作稱為「蜜汁操作」。經過一次「蜜汁操作」，整四面體的體積會變為有理數倍。這是因為，所有整點在四面體的三個(整)點所確定的平面的正交補(垂線)上的投影是乙個等距格點，因此蜜汁操作前後，四面體的底面積不變，高變化了有理倍。
經過至多3次蜜汁操作，乙個整四面體可以變成任意給定的另乙個整四面體，因此所有的整四面體的體積都相差有理倍。而，顯然存在體積為1/3的整四面體。因此所有整四面體的體積都是1/3的有理倍，因此是有理數。
哪些正多面體可以塞滿三維空間？
Kate 這個問題擴充套件了回答下。二維 單個正多邊形 正方形，正三角形，正六邊形 多個正多邊形 共8種組合 https zh.wikipedia.org wiki 正多邊形鑲嵌 三維 單個正多面體 regular polyhedra 正方體 多個正多面體 正四面體 正八面體組合 圖 https e...
這在三維空間中是什麼樣的？
wzd 你少寫了乙個等號和0。F X，y，Z X y z Xy yz ZX 0得 x y y z Z X 0 表示三個平面的交點，即空間直角座標系的交點一一原點O。 supersarah F x,y,z x y 2 y z 2 z x 2 2 這樣是不是就好想象一點了？ 幷州達人 這個方程是乙個四維...
如何使用Matlab畫出三維空間中離散點的包絡面？
野生學渣 Envelope Author AdamTurner,2021.05.Written in MATLAB R2018a.clear all close all clc N 65536 beta 0.500 pi delta1 rand N 1 2 pi delta2 rand N 1 2 ...