1樓：PerfectIsShit
無論是數列，極限也好，還是函式極限也罷，極限的本質都是對等號的擴充。不要糾結德爾塔語言，它只是嚴格表達的極限語言而已。由於實數的連續性使得你沒法動態定義極限的概念，就是說你說無限靠近但不重合的過程通過動態描述是永遠達不到的，這樣會陷入飛矢不動的bug裡，所以只能靜態定義，何謂靜態定義，就是敵不動，我不動，你問我，有多小，我不知道，我讓你說個數，反正我比你說的數小就行，你說1000個數，我也都比你小，這就提現了埃普西隆的任意性，然後你先說的這個數值，就相當於給埃普西隆賦值，所以它的值是固定的。以上。
2樓：啦啦啦
回答可能不是很嚴謹，但是是自己看書來的體會，如果有錯誤還請大神斧正第一可以理解b是乙個無窮小的數，且這個數充當乙個範圍，而極限要想存在，則 |Xn-a| 必須在這個無窮小的範圍裡面，極限定義裡面有說，無論b取的多小，總有乙個正整數N（第幾項）和它對應，因為|Xn- a|是肯定為正數的，又因為當項數小於N時，比b這個無窮小的數再減去乙個a，那肯定就是比b小了啊，所以就在b這個範圍裡面了
那麼就要看當項數取的比N大的時候，|Xn-a|的範圍滿足小於b的情況下，才能說明數列極限是存在的，不然只有一部分數列滿足小於b一部分不滿足，那這個數列最終是發散的。
總的來說，把|Xn-a |理解為數列與a的距離為好，當兩者距離比無窮小還要小的時候，就可以說明數列Xn的極限是a
3樓：順其自然
假設有(a-ε,a+ε),在n趨向於無窮時，總有xn不在這個範圍內，始終有xn與a的距離大於這個確定的距離，無法與a小於這個距離，也就是xn不接近a，所以要接近a，必須要有有限個xn不在這個範圍內，這有限個xn最大的n記為N，也就是n>N,xn都在這個範圍內，而ε用來描述無限小的距離。
4樓：望明篤途
數列極限是乙個非常重要的知識點，具體細節可以看看這篇文章https://
zhuanlan /p/239896981
5樓：越前林木
官方給出的定義如下：
分解定義：
1、若對任給的正數ε，總存在正整數N，
這裡ε用來規定因變數，N用來規定自變數。
2、使得當n大於N時，有|Xn-a|<ε，
3、如果以上兩條滿足的話，則把a叫做Xn的極限。
難點理解在於第二條。這個條件很重要，體現了極限的嚴謹性。
在n趨近於無窮大的過程中，遇到了乙個同為正整數的N，但n不等於N，當n>N時，數列Xn會趨向於乙個確定的值，即定值a，但Xn肯定不等於a，它和a之間始終存在一些距離，為了保證並確定出這個距離的科學性，所以假定它是任意的ε（表示的是距離，肯定大於零）。
這樣Xn和a之間的距離就表示為|Xn-a|<ε，ε表示的是一種要求（可以理解成能容忍犯錯的要求界限）
這樣Xn的點就會散落在(a-ε, a+ε) 這樣乙個區間範圍內，從而規定了「極限」這個詞的科學性，嚴謹性。
這樣，再回過頭去看，規定n>N，N為總存在的正整數，這樣的n才能使Xn散落在能得到極限允許的那個範圍內，也就是這樣才能有極限。
所以，極限是通過推理出的結果（你不滿足這種要求，就得不到極限），再反過來，推回去（你需要滿足這種要求，才能有極限）從而，得到極限的定義。
6樓：籠中物件
通俗版:所謂極限描述的是乙個無限逼近的過程，無論你取多麼接近常數a的值，我總能找乙個比你更接近的。那a就是就是這個逼近過程的極限。
7樓：大表哥考研數學
回答：如果你學過高等數學（或數學分析），第乙個讓你琢磨不透的定義應該就是數列極限了。
那麼恭喜你，你的數學之路將迎來極大的提公升空間！王者之路即將開啟！嘿，大表哥，上題！
（2014 數三）設 ，則當n充分大時，有_____
A、|an| > |a|/2B、|an| < |a|/2
C、an > a-1/n D、an < a+1/n
［分析］ 如果從理論上排除C和D選項（假設先不舉特例），非常困難，因為這是考研數學概念題中最具有迷惑性的干擾答案，沒有之一。然而命題人並不夠聰明，因為一旦考生覺得C正確，D也覺得正確，所以立即排除CD.
下面大表哥開始正式的分析：
對任意的正數 ,存在N（ ），s.t 當n>N時，有 <
定義中的ε有幾點需要說明：
（1）具有任意性，乙個大寫的However，更強調任意小；
（2）具有暫時的固定性；
（3）ε刻畫與常數a的接近程度
其中（1）與（2）很多學生難以理解，甚至覺得兩個含義相互衝突。假設你週末要吃晚飯，你有各種選擇，火鍋，串串，炒菜公尺飯，過橋公尺線，桂林公尺粉，蘭州拉麵，涼皮肉夾饃。。。。。。。你有無數種選擇，但是一旦選定，你暫時就不能再挑了，大表哥收起選單，去廚房給您做去！
極限是一種動態的趨勢，一種走向，一系列動態的點要與乙個固定的點無縫連線！若ε不是任意小，則很難刻畫出極限的本質。
如 現在分別取 ,甚至 滿足 滿足 不存在。這說明ε即使「很小」，也未必能刻畫極限的本質，就像你很努力，卻仍然很難搞懂這個分析一樣，那只能說明你還不夠努力，就像 一樣，它必須充分小，足夠小，小到塵埃裡，小到肉眼看不見，才能刻畫極限無限趨近的動態本質。這也不難理解，為什麼有些證明一開始要限定ε<1。
數列的極限收斂問題，實際過程體現了一靜一動原則，收斂到a，其中a 為固定的點。當n充分大時，an可以無限靠近a，那如何刻畫「靠近」? 你不能用程度副詞去刻畫，很靠近，特別靠近，靠近得不能再靠近了，這些話並不能嚴格去度量他們之間數學上的接近程度，即an與a之間的距離，這時候ε出現了，ε用心良苦，他要測驗an與a之間的距離，首先它要安靜下來，比如化身為1/100，這時發現可能有一部分an被淘汰出局了，因為可以找到某個項 ,s.
t , 之前的項，它們對a點並不忠心，已經在a的1/100鄰域之外了。 經綜上測驗，比如又變成1/9999，這時發現還有更多的項被認定為不忠心。然而 是西西弗斯的化身，它沒完沒了的使自己變小，有多小呢？
只要你能想到乙個很小的正數，它就比你想的正數還要小，它可以比我小外甥的小雞雞還要小。
現在把C,D選項結合起來考慮，去掉絕對值變為
（1）由定義：對任意的正數 ,存在N( ),s.t 當n>N時，
有 即而 具有任意性，所以它似乎可以取 ，此時就變為（1）式。
定義中ε不是具有任意性嗎？所以當然可以取1/n（而且你不是強調任意小嗎？不正好也符合其特質？
)這樣的邏輯似乎無懈可擊！我們不妨回到第（3）條，ε刻畫an與a之間的接近程度，那再細緻一點，要達到何種程度呢？
答：趨於0的程度；
只要能滿足最後趨於0，就可以保證 的極限點為 , 的任意性表現在數值上的任意小，而現在 卻以另一副面孔出現，它變得蠻橫無理，狹隘自私，它要求 奔向0的速度小於 ,而事實是 跑向 的速度如果慢一點，比如是 （相應地 或是 .....呢？雖然 跑向 的速度慢了些（比如此時取 ），但它們堅持跑到了最後，跑到精疲力竭，卻也到達了終點-------極限點 .
本身並不能決定 與 之間的距離提出了乙個剛性要求：即你倆之間必須在我給你划
的這個範圍內
實際上，若任意 0," eeimg="1"/>存在N（ ），s.t N(\frac)," eeimg="1"/>
此時頭尾兩個 本來就是矛盾的，尾巴n是動態的「n」，它大於 時才成立。而開頭的1/n一旦這麼給定，就意味著它其實是某 ，即對給定的 ，存在 N(\frac})," eeimg="1"/>.
在本題中，C,D選項試圖用形式混淆概念的本質，值得同學們深思。
PS:如果你看完大表哥的分析還是一頭霧水，我們不妨從哲學的角度再次認識這個問題。從馬哲唯物辯證法觀點出發，運動是絕對的，靜止是相對的，但只承認絕對運動否認相對靜止，就陷入詭辯主義；而只承認靜止否認運動又陷入形上學。
而極限的定義中，n是運動的，它從1跑到無窮，而 是相對運動的，一旦給定就暫時被固定下來，把它當成乙個靜止的參考，從而找到相的N，否則N永遠找不到，因為N依賴於 . 本題的CD選項陷入詭辯論的矛盾！
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