1樓：期權鉤沉
首先，你的定義有歧義。函式 f 到底是任意還是存在，應該寫清楚。
其次，這個定義不必要地增加了複雜度，比原來的定義和 0" eeimg="1"/>要難理解得多。
2樓：DLY1991
Google "net" or "filter", I prefer filter even though they are basically the same.
3樓：商正則
極限其實就是乙個運算元，或者仍可以叫「對映」。
極限可以跟度量或拓撲無關。
乙個稍微不那麼自然的推廣是 Banach 極限。數學系大概學到大三線性泛函分析就知道了。
4樓：不二先森
你這個說法不對，數列極限是數列極限，它是乙個乙個固定數。數列收斂於其極限是動態變化的，這裡ε與ε/2沒有區別，只不過所對應的N不同，按你的說法不同的ε是不同的，這樣說是不對的，而且你所定義的函式，用到了下確界，下確界也是用ε語音定義的，你這個證明就屬於迴圈論證，無限套娃。
5樓：
定義，當然越簡潔越好。搞太複雜不是個好想法，除非複雜的定義能推廣適應範圍。可以作為極限定義的有益複雜化，應該是柯西準則
6樓：
你這個證明寫得好不好，別人說得比較多，我就不說了。我想從另乙個角度說說我為什麼希望你去推廣你的思路。
我們中中國人學數學，太注重技巧，總認為最快最簡單的方法是最好的方法，所以當乙個相對簡單的方法提出來後，其他人想的更多是如何用更簡單的方法來做，如果不是更簡單那麼似乎新的方法就沒有意義，我以前也這樣認為但是現在我認為任何不同的思路或方法都有同樣的價值，我們不應該總是追求最快最簡單的方法，而是更應該追求一題多解，因為每一種方法都能給人以不同的啟迪，並引發對數學本身的思考，這種思考是最重要的，即使它最終表明新方法是不對的或無效的。
7樓：速溶骨灰
已經這麼多人回答了這個問題，我也不必長篇大論了，簡而言之，不使用拓撲時沒有必要，因為 本來就任意小；使用拓撲時參考極限與逆像的定義。
8樓：龍翔九州
點進來之前我以為的推廣: 推廣到更一般的拓撲空間，至少也不能是 這樣又有度量又完備的空間
實際上問題裡的推廣: 把極限定義裡的 換成
好吧……
實際上我感覺這個並不能叫推廣，因為你把極限的 定義
0\,\exists\delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,(|f(x)-A|<\varepsilon)" eeimg="1"/>
改寫成0\, \exists \delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,(|f(x)-A|<2\varepsilon)" eeimg="1"/>
或者0\,\exists\delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,(|f(x)-A|\leqslant\varepsilon)" eeimg="1"/>
又或者0\,\forall|x-a|<\delta\,\left(|f(x)-A|<\frac 1n\right)" eeimg="1"/>
看起來是減弱(或者加強)了極限的條件
well, 都把 的條件放寬到 了，或者說都把 0" eeimg="1"/>限制到 0" eeimg="1"/>了，總歸是把條件減弱了一點吧？
但是實際上上面四個條件都是完全等價的，換句話說是充分必要條件。
這確實是剛接觸極限定義時很可能會產生的疑問，也不失為一道很好的思考題。這四個條件的等價性的精髓都來自於最開頭的 , 對於初學者想想這個問題能增進對抽象的 定義的理解。
總之，問題裡的命題至多能算個極限定義的等價形式或者結論，應該是算不上推廣的。希望我表達清楚了。
那麼推廣自然是有的。首先我們要拋棄醜陋的 語言，轉而使用更優美(大霧)的鄰域來定義(注意，在 裡這仍然與 定義是等價的)：
代表鄰域而 代表去心鄰域。啥意思呢？不嚴謹的說就是只要 能把 附近的所有點都對映到 的附近，那麼就稱 .
看到沒？現在我們擺脫了 這樣的距離概念，而距離是乙個比較嚴格的東西，不是所有的空間都能有的(事實上我們把裝備了距離的空間專門稱為度量空間)。擺脫了距離的概念我們就可以把極限推廣到更一般的拓撲空間, 只要拓撲空間中有鄰域的概念就可以利用類似 的東西定義極限，具體比較複雜我懶得寫了。
另外乙個方向是仍舊留在度量空間裡，只不過用更一般的度量 代替 中的歐式度量。例如在度量空間 裡給定乙個序列 和乙個點 ，若滿足
0\,\exists N>0\,\forall n>0\,(d(x_n,x)<\varepsilon)" eeimg="1"/>
我們就稱 是 的極限點。
乙個例子是在所有連續函式空間 裡給出 度量，我們就能在裡確定一列函式 的極限。在這樣的極限下可以發現任何連續函式 都可以被一列多項式一致逼近，也就是說總存在一列多項式 有 。這個結論可以更簡單的表述為:
多項式在 中稠密。又或者我們留在 裡，把極限概念本身作一下推廣，也就是常見的上極限和下極限:
這個就不展開講了，數分或者高數書上都有。
如果有錯請不吝賜教
9樓：嵇康之錘
一般化就是拓撲的極限定義。數列an的極限是a當且僅當對任意包含a的開集U，存在乙個正整數N使得如果n大於N，則an包含於U。
10樓：
我們知道極限可以由語言定義。其實由拓撲的語言來定義。這個可以在點集拓撲的研究中看到。
我們可以這麼理解 語言的定義。給定乙個 ，我們其實得到了乙個函式值 的鄰域 。這裡的 可以看成是普通的絕對值符號。
我們知道絕對值刻畫了實數之間的距離。所以實際上，我們可以將其推廣成更一般概念，度量，比如絕對值的一半，平方，立方等等。有些度量有很不錯的應用，這也是為什麼我們會考慮更廣的度量的原因（我在注1中提供了乙個例子）。
當然，度量是有嚴格定義的。其需要滿足一些公理，比如非負，三角不等式等。但我們可以發現，無論我們用什麼度量，最後的結果都是的鄰域 ，即乙個包含的開集。
那麼很自然的，我們可以拋棄度量，直接定義 的鄰域，有了鄰域，我們自然可以定義極限了。當然，和度量一樣，我們不能任意的選擇鄰域的集合，我們需要小心的選擇這個集合使其滿足一些公理性定義。這樣的鄰域的集合加上全本的集合（比如實數集）就被稱為拓撲空間。
最後我想強調的是極限是乙個拓撲的概念，其可以不依賴於距離而存在。乙個例子是，我們可以在乙個氣球上畫上乙個收斂的點列。我們可以通過吹氣，或是擠壓氣球使得氣球變形。
這顯然會改變點與點之間的距離。但是只要不破壞氣球的表面，點列依然會收斂到同乙個點。
注1：我們有經典的幾何數列求和
，這個公式只對 的數成立。因為對於x大於1的時候，左邊的求和是發散的。但這個發散是在採用一般的度量（絕對值函式）。
但是如果採用P-adic metric，我們可以說明上述公式對於x>1的數也是成立的。
即隨著左邊項數的的增加，其求和的結果和-1的」距離「越來越近。有理數x可以表示為 ，其中p是素數，r，s不可被p乘除。那麼定義x與0的距離為 .
然後，我們可以看到在這個距離定義下 和-1的距離為
所以當N趨於無窮時，在P-adic metric的定義下aN收斂於-1。
注2：在category theory，有更抽象的極限定義。截圖如下供大家欣賞。
11樓：
你這個寫得就不對，既然 可以是任意的正數，你定義中又出現了 ，那麼 的定義域必須包含所有的正數，而不是乙個抽象的子集 .
12樓：USupreme
你可以去看比較新的國外教材，裡面的定義更簡潔，國內的還是比較老的
13樓：badfatraccoon
這不算擴充套件，只算是解釋，教學的時候或許有點用。要擴充套件推廣可以參考一下拓撲極限
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