1樓：黑黃相間的汪汪
依愚見，我覺得題主很有可能指的是本科的微分幾何。如果是本科微分幾何或者說至少是微分幾何入門，那麼最重要的內容就是曲線論和曲面論！陳維恆版前言中的解釋我覺得很正確：
微分幾何是本科第一門綜合運用數學分析、高等代數、解析幾何、微分方程的基礎學科。因此從預備知識上講，數學分析和高等代數是最重要的預備知識。我覺得沒有學習過曲線論，曲面論，就沒有真正學習過微分幾何！
理解曲線論的重點在於frenet公式。frenet公式是關於空間曲線的一組微分方程，是以弧長為引數，涉及正則曲線（就是足夠光滑性質足夠好，至少可以放心求三次導數）三階導數的線性齊次微分方程組，係數是曲線的曲率和撓率。曲率可以看作單位曲線長度變化時切線角度的變化，撓率可以看作曲線偏離平面的程度。
給定一條曲線的曲率和撓率可以確定一條正則曲線（可能差乙個剛體運動，通俗說是平移加旋轉）。這就是曲線論的基本內容。
理解曲面論的重點在於兩種基本形式。第一基本形式是把曲面看作曲線的集合，第一基本型刻畫一點附近，引數發生微小變化時，新的一點到原來點的距離近似值（的平方），是橫向的曲面上的度量。而第二基本形式是刻畫一點附近，引數發生微小變化時，新的點到原來曲面的縱向距離（的兩倍），是縱向的法線方向的度量。
因此從直觀上，這個曲面的形狀也就確定的差不多了。事實上，依靠第一，第二型基本量，就能確定一塊正則曲面（可能差乙個剛體運動）。這就是曲面的基本定理。
這是理解曲面論的關鍵。
我覺得吧，還是踏實點，好好學習曲線論曲面論，積累基本素材，為以後什麼整體微分幾何、黎曼幾何等等打好基礎才是最現實的。
2樓：
古典微分幾何需要數分，高代。微分流形則需要拓撲，多重線性代數。後者在很多書裡都會現場介紹。
當然繼續深入其他數學分支的知識也必不可少。另外，學習微分流形需要有古典的微分幾何作為支撐，不過這裡古典微分幾何需要以現代語言改寫。
3樓：Yuhang Liu
這幾天總有人問我微分幾何怎麼學，這裡統一答一下。
首先數分高代解幾這種就不多說了。古典微分幾何（曲線曲面論）其實不是必須的，想看也可以看看。拓撲可以看尤承業《基礎拓撲學》，不用看得太認真，理解清楚基本概念就行。
學拓撲的同時可以看《From Calculus to Cohomology》，基本涵蓋了微分流形的基本理論，這本書可以看得細緻一點，因為大部分人第一次接觸流形還是有些挑戰的。
有了這些基礎知識儲備後，可以看do Carmo《Introduction to Riemannian Geometry》，這本書建議細看，可以花一年時間慢慢看完，題目能做的盡量做完。這本書看完，你對「什麼是（現代）微分幾何」就有基本的概念了，接下來，你想看復幾何／Kahler幾何，或者極小曲面，或者mean curvature flow, Ricci flow，或者想做有點冷門的正曲率，Finsler幾何，等等，那就可以針對性的看這些方面的教材／專著。如果想做幾何分析的話，PDE還是值得系統學一學的，尤其是橢圓方程。
其實這個答案主要還是寫給一些考研的想報微分幾何方向的人看的，感覺他們很多人真的是一點概念都沒有，也不知道要怎麼準備。而真正學得早的人，哪怕是大一大二甚至高中就看過do Carmo我都不覺得奇怪。
4樓：
微分幾何的學習分為幾個檔次， 大夥可以對號入座：
1) 工科知識需要， 比如非線性控制之類的， 這種只要微積分學的不錯， 線性代數功底可以， 補上一兩門針對性的書籍就可以了。 至於其中某些繁雜或者莫名其妙的定理， 估計本科的基礎根本不夠， 也很難搞清楚還是算了吧， 記住一些關鍵的條件結論， 那純粹數學上的怪物恐怕在你的學科運用裡面基本用不到。
2) 理論物理專業， 這個專業需要對微分幾何的運用比較了解， 同樣不需要對付數學上的怪物， 需要專注微分幾何的核心內容， 由於沒有嚴苛的分析學基礎， 不可能對其周邊的理論了解詳盡， 但最好能補充一些基礎， 如果是研究生， 最好能補充泛函分析，和抽象代數這兩門重要的數學基礎， 然後看看侯伯元或者梁燦斌的微分幾何教材。
3) 數學專業， 恭喜， 這是數學上的主流分支， 需要相當的分析和代數的基礎，點集拓撲也是必備的知識， 清楚再不同分離特性下， 空間的完備話等特性， 然後由數學的角度去入手， 陳老的那本教程相當不錯
5樓：彭柯堯
我當年是直接跳過古典微分幾何學習現代微分幾何的……因為在我以為的數學體系裡微分幾何就是黎曼幾何之後的一系列東西……於是就被各種虐哭……知道有一天買了一本本科生用的微分幾何習題集，發現原來本科低年級學的居然大部分是古典微分幾何也就是非常形象的東西……
如果是古典微分幾何的話，基礎線性代數，多元微積分，空間解析幾何就綽綽有餘了……
但是要是現代微分幾何的話，需要的就多了。首先還是線性代數，不過這次是多線性代數，不然張量是什麼你理解不到，所以找本高階一點的線性代數看看吧(《代數學引論》就很不錯)。然後是拓撲學，不然流形是什麼你都理解不到，對拓撲學要求也不太高，看到同調就差不多可以了。
然後是李代數，當時看陳省身的《微分幾何講義》然後第一章看到富比尼烏斯定理就看不動了……後來才是在各種微分方程數學物理的書上看了李代數是什麼……
但是即使是預備知識夠了，可能還是會很吃力。各種東西都很抽象關鍵還是要靠自己強大的理解和抽象想象能力。什麼時候你能覺得微分幾何直觀了，你就成功了……
6樓：Corollary
微分幾何可以包含不同的範圍。如果是數學系二年級的微分幾何，可能是指三維歐氏空間的曲線論和曲面論，學了線性代數和多元微積分就可以了，最好修過空間解析幾何。如果是稍微高階一點的內容，大概相當於黎曼幾何初步，需要一些微分流形的基礎。
如果是數學分支的介紹，即包括纖維叢上的聯絡的話，可能需要些代數拓撲和李群的知識，學過微分方程更好。
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