1樓：黃雨
發現有很多問題其實是重複的，那我的回答豈不是只能複製？
1、首先我可以明確告訴你，全體自然數的和是 這是錯誤的，是乙個誤解。
2、然後我可以告訴你，尤拉(數學家的名字)是如何算出這個結果的，以及後來的黎曼(數學家名字)是如何系統化研究的。
3、最後我看了很多人的回答，確實過於深奧，非數學專業或者說不是專業研究過的人可能看不懂。
在數學裡有一種計算工具，叫做冪級數展開(查了一下知乎，關於這方面問題不多)。
尤拉當時得到了這樣乙個公式（這裡完全是我個人的猜測。。。哈哈哈）
接下來是重點了。尤拉取 得到：
對你沒看錯，所有的奇數加起來減去所有偶數居然是 ？
正常人到這一步就已經開始懷疑人生了，我在哪兒？我是誰？我在搞什麼？
顯然尤拉不是一般人(是伯努力輔導班的人)，他繼續算。
然後在前面括號裡加入所有偶數，那麼後面括號就要減去所有偶數。得到：
看上去尤拉已經得到所有自然數的和了，尤拉令：
也就是說 就是全體自然數的和，求出 就ok。繼續整理後面括號內容。
What are you 弄啥勒?
到這裡，尤拉顯然知道自己的計算出了問題(純粹我個人臆想)。
如果說計算的過程沒有錯誤，那就是條件錯了。也就是這個冪級數展開：
這裡顯然，對於等式左邊 肯定不能等於1，因為這樣分母就是0了。但是對於等右邊，當 時，剛好表示的是全體自然數的和，沒有毛病。所以等式兩邊的 取值範圍並不相同！
只有在等式右邊的級數是收斂的(會趨於乙個穩定的結果)情況下，這個冪級數展開才有數學意義。
尤拉取 時，左邊等於 。但是右邊為
顯然這個級數不是收斂的，甚至都無法知道是正值還是負值。
這一步錯誤的話，那整個計算過程也都沒有意義了。
後來，黎曼對尤拉的研究做了系統性的深入研究。
也就是黎曼ζ（讀音"zeta"）函式（），黎曼ζ函式的解析延拓有
這和尤拉的計算結果不謀而合，關於黎曼ζ函式，我想其他人回答說的很清楚了，如果看不懂的話，就當做沒看見吧。。。哈哈哈哈（我也看不懂）。
全體自然數的發散級數和等於負十二分之一代表了什麼？隱藏了乙個天大的秘密嗎？
2樓：K-Loo
你可以當它類似於IQ題，也就是說是某類有意思的詭辯。
這個答案的得出，是因為本來自然數求和，是不能收斂的，也就是不會得到乙個確定的數的答案。但是，那是用最基本的求和方法來看，也就是用最簡單的方法來看。依直覺就對了。
如果，用一些後來發明出來的，針對一些不易求和的級數強制求和的方法，來對自然強行求和，就會得到上面荒謬的結論。
為什麼說荒謬呢？因為那些求和方法，有個前提，就是這個級數本身是能收斂的，而自然數之和明顯不能收斂。因此這麼做其實沒有意義。
即使計算過程對了，還得出了確定的答案，這個答案也是沒有意義的。因為前提就不成立。也就是說，本來就不能用這個方法去求和。
所以這只是某種詭辯遊戲。當然它的發現，對於數學研究來說還是有意義的。
3樓：「已登出」
這個結論是出於物理重整化的需要（對於不同發散數列，找出它們區別來）。
換句話說，這個－1/12 拿到除了重整化外的範疇裡，完全沒有luan用（手動攤手....）
如果全體自然數的 和 等於 1 12，那麼全體素數是否有對應的 和 ？
TravorLZH 設 事實上根據 有 令s 1，得 如果素數計數函式的梅林變換能夠被解析延拓，則可得到對應的和 知乎小管家 知乎編輯器的積分號怎麼也壞了！ 電渺陶琅 以下內容搬運自WolframMathWorld類似於黎曼 函式，我們可以定義 素數 函式 其中求和號對全體素數求和。通過以下等式，它...
如何理解自然數是無限的，但每個自然數是有限的？
在ZFC之中，任意的自然數包括作為整體的自然數集都是序數，也是基數。這些數都是集合，注意，每乙個數都是集合 例如零是空集 有限集的定義是存在乙個自然數與其等勢，即存在雙射這個自然數就是集合元素的個數。不是有限集的集合稱之為無限集合。那麼剩下的就很自然了，不存在自然數與自然數集等勢，因此自然數集是無限...
如何理解每個單個的自然數是有限的，而自然數集合是無限的？
continuous 這其實基於對自然數的定義,如果缺少定義,很難真正理解.首先,按照集合論序數定義.算了,可以簡單的理解為 自然數定義就是集合,其中每乙個集合都是有限的 通過集合論無限性公理我們有每乙個自然數都是集合.題主所說的大小關係其實是集合之間的包含關係.於是若自然數r大於 即包含 所有自然...