如何理解自然數是無限的，但每個自然數是有限的？

1樓：

在ZFC之中，任意的自然數包括作為整體的自然數集都是序數，也是基數。

這些數都是集合，注意，每乙個數都是集合

例如零是空集

有限集的定義是存在乙個自然數與其等勢，即存在雙射這個自然數就是集合元素的個數。

不是有限集的集合稱之為無限集合。

那麼剩下的就很自然了，不存在自然數與自然數集等勢，因此自然數集是無限的

而每個自然數都與自身等勢，因此是有限的。

在我看來完全理解需要序數或者基數的概念

因為有很多人是把數當成乙個純粹的物件。

這種做法實際上也沒有什麼問題。但卻對理解這句話產生了乙個斷層：

在很多人眼裡無限是個數，而集合不是數，那麼怎麼能說乙個集合是無限的呢？他說的是集合元素的個數是無限的，即基數是無限的。

只有把數看作是集合，以基數或者序數的概念來談論這句話才能夠圓滿。

2樓：ZCC

Aristotle承認每乙個自然數的存在，但全體自然數不可得，不能被人類所認識。他沒有將自然數看作實無限，相反，他們可以表徵為潛無限。事實上，Aristotle將無限看作永遠沒有完竭的過程(endless process)。

無限沒有起點，沒有終點，存在乙個「後續」(successor)，每一項永遠和前面的項(predecessor)不同。這個過程永遠不能完成，稱之為潛無限(potential infinity)。比如，數數的過程需要所有時間才能完成，這是人力達不到的。

受時間的侷限，無法達到無限的整體。在他看來，無限數量化不可理解。而是將無限看作永遠在延伸著的、一種變化著成長著被不斷產生出來的東西來解釋。

它永遠處在構造中、永遠完成不了、是潛在的。在他看來，量就是乙個數字，乙個靠計數達到所給數字。給定乙個計數的不可到達的過程，就沒有類似無限量這樣的事情。

實際上我們學習高等數學(抑或數學分析), 其中涉及到的「無窮」都是潛無窮(比如極限的語言定義), 真正接觸實無窮(Actual Infinity)可能要等到學習實變函式.

3樓：

準確地說，是""自然數的個數是無限的""，不是""自然數是無限的""。

皮亞諾公理告訴我們，每個自然數都有乙個後繼，如果自然數的個數是有限的，那麼必定存在乙個沒有後繼的自然數，這樣就與公理矛盾了。

4樓：

詳細了解建議閱讀任意一本set theory

如果要簡單了解的話，

就是每個自然數是有限的（比如隨意取乙個數10），但全體自然數構成的集合是無限的（一般稱為ω）

5樓：啥都不懂啥也不會

你所說的「有限」和「無限」的物件首先就不一樣啊。

你說的「有限」的物件是乙個數，而「無限」的物件是數的個數吧。

在現有的數學體系中，我們根本就從沒有過乙個數是無限的這種說法，所有的無限都是諸如n趨於無窮，或者x趨於x0時fx趨於無窮這種說法。所以只要我們說乙個數A，那麼我們不管A是幾十幾百幾千幾億，我們總能說出他多少，或者至少是表示出他是多少。所以任給乙個數A，他顯然只能是乙個「有限」的數。

實際上我印象中根本沒有數A有限這種說法，只有某個集合的元素個數有限/無限的說法吧。

而自然數有無限個在這樣的體系下就很顯然了。我們這裡可以用反證法，如果只有有限個的話，他們顯然可以比大小，有乙個最大的，記為B，那麼B+1是不是自然數呢？顯然也是。

所以就和自然數只有有限個的命題矛盾了。

6樓：bjy魔藥奇才

這個可以根據「無限」的定義和「有限」的定義來理解。什麼是「無限」的定義呢？若乙個數A是無限的，則任意取乙個數B，A的絕對值大於B。

顯然自然數集包含無限多個自然數。什麼是「有限」的定義呢？若對乙個數A，存在數B，使得A的絕對值小於B，則稱A為有限的。

顯然對任意乙個自然數，存在另乙個自然數大於它。

7樓：

你的描述說實話讓我難以理解你在說什麼。

可否詳細說明什麼叫每個自然數都是有限的？

關於無限的概念，可以看看關於數學家羅素的一些文章，簡單地基礎地了解一下。