1樓：continuous
這其實基於對自然數的定義,如果缺少定義,很難真正理解.首先,按照集合論序數定義...
算了,可以簡單的理解為:自然數定義就是集合,}... }(其中每乙個集合都是有限的)
通過集合論無限性公理我們有每乙個自然數都是集合.
(題主所說的大小關係其實是集合之間的包含關係.)
於是若自然數r大於(即包含)所有自然數,則因r也是自然數,所以 !
這違反了集合論正則公理.
所以不存在這樣的r.
不過值得注意的是,按照定義,的確存在乙個序數大於所有自然數,那就是自然數集合 ,它是第乙個無限序數,(50年代的書中)常記作 .
2樓：modour
直觀理解：
1) 乙個自然數是乙個集合，但自然數集合是集合的集合，不是乙個概念。
2) 問題描述中用的是序關係概念，和有限無限概念沒有關係。
3樓：
雖然這個問題看上去很簡單，但是起碼是可以當作集合論的習題來做的，在集合論的語境下：
乙個集合是有限的，當且僅當它和某個自然數（作為集合）有乙個雙射。
乙個集合是無限的，當且僅當有乙個從自然數集到它的單射。
顯然，根據定義，問題已經回答完了。任何乙個集合都有乙個到自己的平凡雙射 —— identity function，因此單個自然數是有限的，而自然數集合是無限的。
但是我們要問如下幾個問題：
乙個集合是否可以同時是有限的和無限的？（注意這個定義僅僅提供了兩個詞彙，不要望文生義——雖然我們希望得到這樣的結果，但是這是需要證明的）
乙個集合是否一定是有限的或者無限的？
為什麼無限集存在？
要回答這三個問題，我們需要從最簡單的那個開始回答：
3、集合論需要一條專門的公理保證無窮集合存在：
事實上這個公理不僅保證了無窮集合存在，而且保證了自然數，而不僅僅是乙個任意的無窮集合存在。
然後再考慮剩下的兩個問題：
1、如果有乙個單射 ，那麼將其限制在 n+1 上也是乙個單射，於是我們就得到了乙個從 n+1 到 n 的單射 。這大概接近矛盾了。
2、留作習題。
於是我們可以看出，有窮和無窮的確是對於集合的一種窮竭的劃分。
這裡需要意識到有限和無限的概念是建立在 cardinality 的基礎之上的，而 cardinality 本身是建立在對映上的：
如果從乙個集合到另乙個集合有乙個雙射，那麼這兩個集合一樣大，否則不一樣大。
如果有乙個單射，那麼 domain 至少不大於 codomain。
如果有乙個滿射，那麼 domain 至少不小於 codomain。
如果乙個集合不大於另乙個集合，並且不一樣大，那麼前者小於後者。
如果乙個集合不小於另乙個集合，並且兩者不一樣大，那麼前者大於後者。
用對映來談論 cardinality 的目的是什麼？談論無窮，並且比較無窮的大小。對於有窮集來說一切都是顯然的。
乙個集合，只要是有窮大的，無非就是多花少花點時間來判定它的大小，但是對於無窮集來說這種判定原則上就是做不到的，因此需要一種新的手段。
當然了，如果僅僅是這樣劃分，你或許會覺得有窮和無窮僅僅是一種隨意的，不重要的劃分，但是並非如此，無窮集有乙個怪異的性質是有窮集所不具有的：
如果 I 是乙個無窮集，那麼存在從它到自己的真子集 的乙個雙射，或者說，存在乙個從它到自己的不滿的單射。
（對於自然數集，做 n 到 S(n) = n+1 的變換，對於非自然數集，將其中和自然數集有雙射的那一部分拿出來做類似的變換，剩下的保持不變。）
對於有窮集來說這是不成立的，留作習題。
說起來據說有人試圖用這個性質來代替無窮公理，不過後果怎麼樣我是不記得了。大概會死得很慘吧，因為自然數要變得不好定義了。以上。
4樓：
只是心理的排斥而已。
任何解釋都是同義/等價轉換，看你接受不接受了。
即使心理再排斥，只要在檢驗邏輯無矛盾之後接受就行，解釋是多餘的。
5樓：
我感覺類似與有限集合向無限集合的拓展的思想在很多門數學課中都會用到，有興趣的話可以把集合論，代數結構，數理邏輯之類的書拿來翻翻幫助理解？
我也一直覺得這種概念挺暈的，我的大致理解是：這個集合本身是無限的，但是你能夠具體地寫下每個元素的部分都只是有限的，可是只要能夠按某種方式將這樣的有限集合無限地拓展下去，這個集合就是無限的。
以自然數為例，不管你在紙上寫多少個自然數，你寫的這些數構成的集合都是有限的。可是自然數這個集合本身是無限的，因為對於任意乙個自然數構成的集合，都一定有乙個數比這些數都大且不與這些數中任意乙個相等，將這個數加入集合，加入後集合仍然滿足這樣的性質，可以繼續新增乙個更大的數，所以這個集合可以按此規則被無限地擴大，故自然數是無限的集合。
然後，類似地，似乎很多自然數相關的定理也是類似地從有限的情況歸納出無限的情況的？
總之對這個問題表示在意，同求正經的回答。
如何理解自然數是無限的，但每個自然數是有限的？
在ZFC之中，任意的自然數包括作為整體的自然數集都是序數，也是基數。這些數都是集合，注意，每乙個數都是集合 例如零是空集 有限集的定義是存在乙個自然數與其等勢，即存在雙射這個自然數就是集合元素的個數。不是有限集的集合稱之為無限集合。那麼剩下的就很自然了，不存在自然數與自然數集等勢，因此自然數集是無限...
自然數是如何定義的？以及自然數是以什麼樣的形式進行運算的？
LRange丶劉壬詰 自然數普遍接受的定義大概是皮亞諾公理吧。皮亞諾公理 0是自然數 每乙個確定的自然數a，都具有確定的後繼數a a 也是自然數 數a的後繼數a 就是緊接在這個數後面的整數 a 1 例如 1 2，2 3等等。0不是任何自然數的後繼數 不同的自然數有不同的後繼數，如果自然數b c的後繼...
所有自然數之和是 1 12 應怎樣理解？
黃雨 發現有很多問題其實是重複的，那我的回答豈不是只能複製？1 首先我可以明確告訴你，全體自然數的和是 這是錯誤的，是乙個誤解。2 然後我可以告訴你，尤拉 數學家的名字 是如何算出這個結果的，以及後來的黎曼 數學家名字 是如何系統化研究的。3 最後我看了很多人的回答，確實過於深奧，非數學專業或者說不...