1樓：子儀
首先，在整數集合中自然數完全等價於非負整數，即所有自然數的個數與非負整數的個數，是一樣多的（0對0，1對1，2對2，……n對n，……）。這是毫無異議的；
其次，我們在比較兩個不等價的可數無窮大集合裡的元素個數多與少的時候，因為彼此的個數都是無限的（沒有最多，只有更多），所以沒有辦法直接比較。這時候比較的就是兩者的「勢」，即兩個集合的元素有沒有「一一對應的對映關係」，如果有，則稱兩個集合等「勢」（如前面的自然數與非負整數兩個等價集合的元素個數的比較，就是最基本的「一一對應的對映關係」）；如果沒有「一一對應的對映關係」，則稱兩個集合不等「勢」，「勢」大的當然就大於「勢」小的。例如，自然數與負整數就是等「勢」的關係。
因為0對（－1），1對（－2），2對（－3），……，n對（－n－1），……。這是次序上有「一一對應的對映關係」。
綜合上面兩點，可知自然數既與非負整數等勢，又與負整數等勢；且非負整數的勢與負整數的勢，是不可以簡單的合併為單一的勢（因為兩者一正一負，方向相反）。這就相當於「乙個勢」與「兩個勢」的比較。所以，我個人的看法是：
自然數的勢小於整體的整數的勢，簡單的說法就是：自然數的個數比整數的個數少。
補充說明：
如果將整數看做是一條以0為中點，向左、右兩個相反方向（左負右正）無限延長的直線（上面的點都是依次排列的整數），那麼自然數就是以0為端點，只向正方向一方無限延長的射線（上面的點都是依次排列的自然數）。假如將自然數這條射線向左（負方向）平移，端點0能夠移到整數的負無窮大處對齊，那麼自然數就應該與整數等勢。但顯然，這是不可能的。
因為（負）無窮大就代表了沒有盡頭的意思，所以自然數這條射線的端點0，永遠也不可能隨著射線的平移到達負無窮大的盡頭。
大題目回答完畢。感覺這道題是深坑啊！
2樓：Cosmia Fu
對於一般意義上的多少關係，即自然數集的大小，其中乙個是無限集合的情況是不可定義的。
為了比較無窮集合的多少，數學上定義了一種集合的特徵，cardinal，
你不要吧 cardinal 理解成通常意義上的個數就是了
3樓：
不具備一定的基礎知識或者沒有遇見一些特定問題，去科普的意義不大。
基數理論一般在實變函式課程裡講，講這個的目的是澄清可數無窮和不可數無窮。
有限可加的測度太難用，不可數無窮沒法得到有意義的求和，只有可數可加才能建立比較好的測度理論。
所以在實變函式課程裡講基數可以看作是為了建立可數可加的測度理論澄清一些背景知識。
在基數的體系下，整數、自然數、素數都是一樣多的。
但是在別的語境下，比如搞數論的人說素數比整數少得多，也不算錯，這相當於一種較弱的測度。
此外還有第一綱集和第二綱集的觀點，它需要一定的拓撲。
當然，必須承認，基數理論是最普遍的，幾乎不需要什麼預設的結構。
（而測度和綱只在特定的空間中有意義，具體的測度或拓撲也有多種選擇。）
因此，說到多少，預設為基數觀點。
「整體大於部分」的觀點沒錯，但是它的適用性太狹窄，如果嚴格按照這個觀點，你甚至不能說英文本母比小於2的自然數多，因為它們沒有包含關係。
4樓：
看你怎麼理解這個「多」字的數學意義。
a比b一樣多，等價於a==b嗎
還是等價於a/b==1
還是等價於a+x!=b，x!=0
還是等價於ab，ba...
5樓：張景斌
前排提醒，
本人只是高中生，
本文資訊要仔細甄別！
整體大於部分的直覺是正確的，
構造雙射只能夠證明有理數和整數集合等勢，
如果說一樣多有點不嚴謹。
綜上，先給你的同學普及集合的「勢」是什麼概念構造雙射表示有理數和整數集合等勢，完畢……
6樓：麻吉
之前看到過乙個問整數和偶數哪個多的，很類似。
解題方法如下：
對於任意整數k都有與之對應的偶數2k，所以整數數集是可以與偶數數集一一對應的，所以一樣多。奇數同理，2k+1。
那麼題主應該自己可以回答這個問題了。
7樓：黃亮anthony
數學的基本樸素原理：一一對應。這個原理理解了，好多基礎但抽象的數學原理一下就全懂了。教小學的兒子得心應手，從不給他說這是規定。
題外做答：以前有本書叫《什麼是數學》第一篇就是這個。
整體大於部分是對的，但是這兩個東西不是整體和區域性但關係。
8樓：羊牧勞
樓上的回答，認為兩者是一樣多，理由是自然數集合，與整數集合可以建立一一對應的對映關係，因為是一一對應的，所以自然數與整數一樣多。
但我並不這樣認為。
你可以建立乙個所有自然數與所有整數一一對應的對映關係，說自然數與整數一樣多，我也可以建立乙個所有自然數，和部分整數一一對應的對映關係，說整數比自然數多。也可以建立乙個部分自然數與所有整數一一對應的對映關係，說自然數比整數多！試問，以「一一對應」，為判定標準，判定兩個無限數字集合的大小，這樣有意義嗎？
以我之愚見，說自然數和整數一樣多，其實就是詭辯，說自然數比整數多也是詭辯，倒不如順從大多數人的第一反應，說整數比自然數多，比較穩妥。
9樓：加菲貓
整數多啊！自然數既非負整數n.整數為z.整數的定義就是....-n....-2 -1 0 1 2......n.....n屬於正整數n*
10樓：劉浩然
其他人把教科書上關於集合勢的內容整理下來了，我就不贅述了。
不過要特別強調的是，兩個無窮集合的大小比較，完全是後定義的。有限集合很好比較，用自然數數一下集合中有幾個元素，再比較一下元素多少，就可以了。而無窮集合沒辦法用自然數數完，所以得想辦法新定義。
你如果想定義成A包含B，則A比B大，也沒問題，很直觀。但是這不完全相容有限集合元素多少的序關係的定義，所以人們後來發明了勢這個東西。
11樓：石某
這是乙個很有意思的問題，我記得高中上課的時候數學老師就問過這個問題，就是某位答主的「旅館讓房」的問題。
當時他給我們的解答也是乙個乙個往後移動就好了，這其實也是很多人提到的「一一對應」或者叫「對映」的概念。
當時乍一聽覺得好有道理！今天也在這裡看到了幾個相似的回答。
但是，今天的我再來仔細思考這個回答，突然發現其實還是有邏輯上的破綻的。
那就是：
讓房的這個操作本身無法完成！
我們可以這樣想，每當乙個人被推到下乙個房間的時候，下乙個房間的人就要繼續去和下乙個房間的人換，一直這樣下去無窮盡。
所以當我們嘴裡提出這個方法或者概念的時候，雖然看起來是解決問題了，但是其實我們只是完成了方案的提出，還沒有實際解決問題動作。而這個動作其實是用乙個永遠不停止的操作來把問題往後推。
實際產生的結果是：每時每刻都存在乙個人在房子外面，沒有地方住！！因為每有乙個人進入房子，就有乙個人要出去。
從這個角度思考，你還覺得這樣的操作解決問題了麼？
回來再看我們的自然數與整數的問題。
同樣的邏輯可以用在這裡，雖然，我們確實可以塑造某種對映方法來讓自然數和整數一一對應，但是問題是這個對映方案一旦提出，就會一直進行下去，沒有辦法停止。
這時候其實是無法比較多少的，因為對映操作永遠不能終止。說直白點就是，你都還沒對映完呢，就知道一樣多了？這顯然是乙個無法讓人信服的結論。
在邏輯上我對這一類只思考單方向對映就得出一樣多的結論的解釋是：你設計的對映方案決定了哪個多哪個少！
我們仔細思考一下，按照某些答主的回答，只要一一對應就是一樣多。那麼如果我們換一種對映方案，我現在讓每乙個自然數n都對應兩個整數，+n和-n，而且這種對應也確實可以一直操作下去，那麼按照這種設計，是不是對應每乙個自然數就會有兩個整數？那按照這個邏輯，是不是整數就應該比自然數多？
用同樣的邏輯，我甚至還可以設計出自然數比整數多的對映方案。
看到這裡，不知道你是否還認為自然數和整數是一樣多的呢？
最後，說一下我的想法：
這個問題本身沒有多少現實的意義，更多的只是理論上的思考與推理。
上面的東西是個人的胡思亂想，官方的回答還是請移步參看集合的「勢」，它並不直接指代數目的多少，而反應的是這個集合的一種與元素數目相關的特徵，很多回答也都提到了。
最後，感覺問題上的「多」可以加個雙引號，畢竟，問兩個「無窮」誰多誰少，聽起來總感覺問題自身都怪怪的，不是麼？
12樓：薄夜清塵
首先我們要定義「多」與「少」。
這很容易啊，乙個蘋果比兩個蘋果少；如果我原本有3個蘋果，別人又給了我乙個，那麼我就多了乙個蘋果。但是如果有一天我說，自然數有多少個，我就又多少個蘋果；你說，整數有多少個蘋果。那麼我們倆誰的蘋果更多一些呢？
那麼我們引入無窮大集合比較的原則。我們還是先考慮有限個。如果我有3個蘋果，你有2個蘋果。
我拿出乙個蘋果，你也拿出乙個蘋果；我再拿出乙個，你再拿出乙個；我又拿出乙個，這個之後你發現你已經沒有蘋果可以拿出來了，那麼顯然我的蘋果比你多。上述過程其實就是乙個對映。那麼對於無窮大的集合，如果我們能夠建立一一對應，也就是說，集合A裡面拿出來乙個元素，B裡面同時拿出來乙個元素，這樣的過程可以一直進行下去（一一對應始終成立），那麼我們就說這兩個集合是一樣大的。
那麼來考慮自然數與整數。設對應關係f：自然數→整數。
0→0，1→-1，2→1，3→-2，4→2，...，n→[(n+1)/2]*(-1)^n，...（其中[ ]是取整函式）。
這樣我們建立了一一對應的關係，並且我們發現這樣的一一對應可以一直成立，或者說，存在乙個反函式（反映射）：整數→自然數。那麼這是乙個一一對應關係，我們就可以說，這兩個集合是一樣大的。
我們可以推廣，上述過程相當於把整數按照某種規律「羅列」：0，-1，1，-2，2，...事實上，如果有乙個無限集合可以按照某種規律「羅列」，那麼它就可以與自然數集建立一一對應關係，那麼他與自然數集等大，也就與整數集等大。
因此奇數集與偶數集與自然數集一樣大。
那麼另外乙個問題，我有三個蘋果，你給我乙個，我的蘋果就變「多」了。那麼對於無限集呢？好像並不是這樣的。
我有和整數一樣多的蘋果，你給我乙個，我的蘋果數量並沒有改變；再給我乙個，依然沒有改變；給我有限多個蘋果，我的蘋果依舊是那麼多。
因此我們得到乙個結論，對於乙個無限集，增加有限個元素，集合的大小不變；增加無限個元素，集合大小有可能改變。比如奇數集加上偶數集（兩個無限集），大小不變；但是有理數集加上無理數集得到實數集，實數集可要比有理數大很多很多了。
關於無限集合的其他內容可以參考一下數學專業的書籍或高中數學競賽輔導書。
如何自學數學分析？
Mr.Calculus 上學時花了很多冤枉錢買了各種數分書，我個人的經驗是數分是一門結構性很強而且非常依賴教學風格的學問，要想真正搞明白這門課就要在合適的階段讀合適的書。在這裡需要說明一下數分並不是那種讀一套所謂的數分教科書就能真正學明白的東西，因為每個作者每本書的側重點都是不一樣的。所以如果想徹底...
如何學好數學分析？
熱血男兒 首先你要對數學分析有乙個大體的感性認識，比如他的研究物件 函式 理論基礎 極限論 研究內容 微分學，積分學，級數理論 上課認真聽講是一方面，數學分析主要靠自己的努力，一定要多做題，推薦吉公尺多維奇的 數學分析習題集 六冊，數學人必知的好書。還有推薦 古今數學思想 讀了這本書，會對數學的發展...
請問如何學習數學分析 ？
張景斌 全世界大部分教材和課堂都講的很爛。買本baby rudin。買本托馬斯微積分。第一步，先看托馬斯微積分，會計算極限。第二步，開啟baby rudin，搞定實數域與抽象代數基礎。第三部，開啟baby rudin，搞定集合論與拓撲學基礎。 笑嘻嘻的啊哈哈 網上對數學分析的介紹。數學分析又稱高階微...