1樓：
朋友，你都說無限不迴圈小數了，還設有n位？n位，不就是有限位了？
你可能以為取n之後就能無窮了，不是這樣的。任意多的有限還是有限，無限是無限，這兩者天壤之別，不可混淆。
2樓：hhh
這是不可數的吧。
可數就是能與自然數集一一對應的無窮。可數個自然數集的直積已經有連續統的勢了，連續統的勢是2^n。而可數個自然數集的直積相當於自然數集全體的全排列。
然而可數個集合｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝的笛卡爾積就已經能與實數集一一對應。
先證明該集合能與(0，1)對應。
0.1234567891011……可以對應1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0……。
而0.1415926535……對應1，4，1，5，9，2，6，5，3，5。0.1對應1，0，0，0，0，0，0……而0.0023756……對應0，0，2，3，7，5，6……
有限小數則沒有位數的部分拿0代替。而無限小數則每一位拆開來對應。於是每乙個(0，1)的小數都能與可數個集合｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝的笛卡爾乘積對應。
於是可數個該集合的直積能與實數一一對應。所以可數個集合｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝的笛卡爾積是不可數的。事實上，可數個元素個數不小於2的集合的笛卡爾積就已經有連續統的勢。
可數個集合｛0，1｝的笛卡爾積能與全體二進位制實數一一對應。所以可數個自然數集的積是不可數的。而不是可數的。
3樓：PHOBIA
對於可數個可數集，將每個可數集從左向右排成一列，所有可數集排成多行。
證明其可數，只需證明可將元素一一用正整數標號。
以下圖方式從左上角標號即可。
至於想用排列組合得到集合的勢，是不行的。首先，我們無法說 10^無窮大是可數，因為數學中不存在這樣的定義。其次，對於集合的勢的計算我們應該從定義出發，即兩集合勢相等當且僅當存在雙射，而不能憑直觀上的元素個數來判別勢，這屬於脫離定義的幻想。
4樓：
可列個可列集的直積其實「不是」可列集
我覺得你想說的應該是：
可列個互不相交的可列集的並集
仍為可列集
......
利用對角線原理，可依次列出其中的元素：
a「1」「1」→
a「1」「2」→a「2」「1」→
a「1」「3」→a「2」「2」→a「3」「1」→...a「1」「n」→a「2」「n-1」→...→a「n」「1」→...用и0表示可列集的基數，那麼
可列個互不相交的可列集的並集的基數
仍為0)×(и0) = и0
即0)^2 = и0
這也意味著
「兩個可列集的直積仍為可列集」
進一步地，我們還可以得到
「有限個可列集的直積仍為可列集」
即0)^n = и0，其中n為任意正整數.
但是,可列個可列集的直積不為可列集.
其基數0)^(и0) > и0
而對於無限不迴圈小數，其集合的基數為
10^(и0) = 2^(и0) > и0用手機打不出\aleph_0，只好用и0代替了誰來教教我怎麼打 T_T
5樓：
乙個簡單的思考題：根號2＝1.4142...
給乙個列1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142...，根號2在裡面嗎？
我覺得如果只是列出1位小數，兩位小數，三位小數，... 並不能列出所有0到1的實數，只是列出了所有有理數，不知此想法是否成立。（想法不成熟，不要強信）
6樓：Lee
如果可數指的是可數無窮，那麼可數個自然數集的笛卡兒乘積是不可數的，即不可列的。原因提問者已經分析了，無限不迴圈小數的集合是不可數的。
7樓：忘憂北萱草
談到自然數，我們很自然地想到數學歸納法。接下來我就用數學歸納法證明一下這個命題。
求證：有限個可列集的積是可列集。
證明：設這幾個可列集的個數是 。
時，結論顯然。
假 時，命題成立，那麼當 時，記前 個可列集的積為 ，第 個可列集記作 。那麼 為可列集， 與自然數等勢。又因為 也為可列集，所以 、 的積與有理數等勢，得證。
綜上所述，有限個可列集的積為可列集。
那麼，為什麼無限小數不是可列集呢？
首先要明確乙個概念，有限情況下的結論不能直接推廣到無限。比如在 、 為有限集時，如果 ，那麼 。但是推廣到無限，當 時， 與 也可能等勢（自然數和整數）。
所以，在剛才的證明中，我寫的是「有限個可列集」，而不是「可數個可列集」，前者是有限的情況，後者是無限的情況。
為什麼數學歸納法不能直接用在無限的情況上呢？一般情況下，數學歸納法是證明形如「 ， k" eeimg="1"/>（k為已知常數），命題函式 恆成立」的命題的。形象化一點，就是你不管寫出乙個什麼自然數 ， 都是成立的。
既然這樣，那麼 一定不能到達無限，所以數學歸納法只在有限的情況下成立。
8樓：辛辛
題目沒說清楚啊，n是乙個固定的自然數還是指N-自然數集合，分兩種情況：
1.n是固定的整數，那麼N的n次方是可列集，但是無限不迴圈小數的集合指的是無限位，即對應的集合為｛1-10｝的oo次方，是不可列的；
2.n指N，但其實沒有這種說法，你可能指的是N的oo次方，這種情況下，N的oo次方的勢大於等於[0,1]中所有實數（即｛1-10｝的oo次方），因此是不可列的
9樓：Eacun
翻了翻數分書，書上只提到了有限個集合上的笛卡爾積，所以N^N存不存在不太清楚。
至於第二個問題。無理數的一種定義是，小於它的所有有理數集的極限。也就是說無理數集的基數和有理數集的冪集的基數相同。所以絕不可能是可列集。
分割一下
看了別的答案，第乙個問題有答案了N^N是不可數的。
N的冪集的基數可以用牛頓二項式表示。也就是2^N。這是個無理數
（注：2^N是個不嚴謹的式子。指數代表自然數集合的基數，而這個式子沒有嚴格的乘法定義，為了理解方便用這個形式表示。）
你可以任取乙個有n個元素的有限集合看看。這個n元素集合的冪集的基數是不是2^n。
那麼2^N可以表示可列集的冪集的基數。所以是不可數的。所以，如果N^N存在的話，一定是不可數的。
再分割一下
還有，題主最好不要用小數形式來思考有理數和無理數。
有理數又稱為比例數，就是兩個自然數只比。而無理數是數軸上除有理數之外的空隙。是有理數的極限。
無論是有限迴圈小數還是無限不迴圈小數都只是表象。不能用做嚴格的定義的
10樓：夏夏
我們先看看任意笛卡爾積是什麼。
集合的集合P，我們一般叫做集族，以下我們都認為P非空，而且P中任何集合非空。P的乙個指標集J是乙個集合，它滿足:存在乙個滿射函式f:
J→P 這樣，集族中任意乙個集合A，存在J中的元a，使得f(a)=A ，以後我們就簡寫Aa，代表f(a)了。這裡要理解，滿射的目的是不漏掉P中的任何乙個元，但不一定要單射。J的選擇可以不同，但它一定存在。
比如取J就是P，f是乙個單位對映就行了。
乙個集族的笛卡爾積就是這個集族中所有集合的笛卡爾積。記為∏Aa 連積號∏的下標是a∈J 顯然，同乙個集族P，取不同的J，積也不同。
∏Aa是什麼的集合呢？它就是所有形如g：J→∪Aa 且g(a)∈Aa這樣的函式的集合。這裡∪Aa是P中集合的並，x屬於它當且僅當x屬於P中的某個Aa。
比如N^N，實際上它指P=，J=N時，P的元素的笛卡爾積。它是所所有f：N→N的函式的集合。這裡Aa都是N，所以f已經滿足f(a)∈Aa
又比如笛卡爾積N^n，是所有形如f：→N的函式的集合。這是我們常說的有限積
至於笛卡爾積是可數的還是不可數的，關鍵看J。J是有限就是有限積，J是可數，就是可數積。
注意，可數集是指有限集或者可數無限集。但你可以證明，乙個非空集合A可數，充要條件是存在函式f:N→A，f是滿射。
而乙個非空集合A有限，充要條件是存在n∈N，及f:→A是一一對應。
只有有限個可數集的笛卡爾積，即Aa都是可數集且J是有限集，才是可數的。可數無限個可數集的積不一定可數。比如X=，X^N 就不可數，因為你可以證明若有函式f：
N→X^N ，f一定不是滿射。在f確定的情況下，你可以找到X^N的乙個元素，它沒有原像。這個用反證法就行。
至於有限個可數集的積可數，你可以先證明兩個積可數，再歸納法到有限個，具體不寫了。
其中運用到：N^2也是可數無限集它與N一一對應，笛卡爾積A1A2…An與(A1A2…An-1)An是一一對應的。一定要記住，證明兩個積可數，只要找到N^2到那個積的滿射就好了，因為這樣就說明有N到積的滿射，積就可數。
如何理解每個單個的自然數是有限的，而自然數集合是無限的？
continuous 這其實基於對自然數的定義,如果缺少定義,很難真正理解.首先,按照集合論序數定義.算了,可以簡單的理解為 自然數定義就是集合,其中每乙個集合都是有限的 通過集合論無限性公理我們有每乙個自然數都是集合.題主所說的大小關係其實是集合之間的包含關係.於是若自然數r大於 即包含 所有自然...
如何理解自然數是無限的，但每個自然數是有限的？
在ZFC之中，任意的自然數包括作為整體的自然數集都是序數，也是基數。這些數都是集合，注意，每乙個數都是集合 例如零是空集 有限集的定義是存在乙個自然數與其等勢，即存在雙射這個自然數就是集合元素的個數。不是有限集的集合稱之為無限集合。那麼剩下的就很自然了，不存在自然數與自然數集等勢，因此自然數集是無限...
所有自然數之和是 1 12 應怎樣理解？
黃雨 發現有很多問題其實是重複的，那我的回答豈不是只能複製？1 首先我可以明確告訴你，全體自然數的和是 這是錯誤的，是乙個誤解。2 然後我可以告訴你，尤拉 數學家的名字 是如何算出這個結果的，以及後來的黎曼 數學家名字 是如何系統化研究的。3 最後我看了很多人的回答，確實過於深奧，非數學專業或者說不...