1樓：LRange丶劉壬詰
自然數普遍接受的定義大概是皮亞諾公理吧。
皮亞諾公理：
Ⅰ、0是自然數；
Ⅱ、每乙個確定的自然數a，都具有確定的後繼數a' ，a'也是自然數（數a的後繼數a'就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如：1'=2，2'=3等等。）；
Ⅲ、0不是任何自然數的後繼數；
Ⅳ、不同的自然數有不同的後繼數，如果自然數b、c的後繼數都是自然數a，那麼b=c；
Ⅴ設SN，且滿足2個條件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那麼n'∈S。則S是包含全體自然數的集合，即S=N。
至於運算...我沒有太get到這個問題的意思
2樓：Forwil
公理集合論可以定義自然數。
空集公理：，滿足這樣的x記為空集，空集可以證明是唯一的。
無窮公理：，保證了存在無窮集合。
其中定義ind(x)為如下公式：，表示x是乙個滿足無窮公理的集合，稱為歸納集
自然數集合：自然數集合是最小的歸納集，定義：
w \subseteq x)" eeimg="1"/>在公理集合論下，自然數為如下形式：
.....
可以很容易定義偏序關係< ：
公理集合論可以匯出 peano公理：Peano axioms、其中的歸納法公理是公理模式，蘊含著無限多公理。
robinson公理去除了歸納法，Robinson arithmetic
3樓：楊蔚鵬
按照邏輯上的推理，應該是先有定義再有計算。但是其實是先有計算和模糊不精確的定義，最後才發展到規範的定義。現代數學定義自然數大概也只有一兩百年吧，但是自然數的計算絕對有上千年歷史。
大家可以回顧一下學習英語的過程。從背單詞開始，直到最後才開始學習語法，換而言之，等到你學習語法的時候更累似於歸納總結，推出一套體系。數學也是一樣的。
當然數學和大部分學科不同的是他並不是一門實驗科學。以物理舉例子，相對論的提出和被接受很大一部分原因是出現了現有物理體系，也就是牛頓那一套不能解釋的實驗。相對論的提出就是來彌補和補充原有體系的。
但是數學中是不存在為了解釋彌補原有體系解釋不了的事實而出現的新知識的。他只是不斷的自我完善，而不在意所謂的現實實驗。數學一般是超越現實的發展的。
比如相對論。。。爪機手打先歇一會，貌似離題了。。
如何理解自然數是無限的，但每個自然數是有限的？
在ZFC之中，任意的自然數包括作為整體的自然數集都是序數，也是基數。這些數都是集合，注意，每乙個數都是集合 例如零是空集 有限集的定義是存在乙個自然數與其等勢，即存在雙射這個自然數就是集合元素的個數。不是有限集的集合稱之為無限集合。那麼剩下的就很自然了，不存在自然數與自然數集等勢，因此自然數集是無限...
如何理解每個單個的自然數是有限的，而自然數集合是無限的？
continuous 這其實基於對自然數的定義,如果缺少定義,很難真正理解.首先,按照集合論序數定義.算了,可以簡單的理解為 自然數定義就是集合,其中每乙個集合都是有限的 通過集合論無限性公理我們有每乙個自然數都是集合.題主所說的大小關係其實是集合之間的包含關係.於是若自然數r大於 即包含 所有自然...
如何證明自然數的存在？
我的盲僧姓愣頭 不需要證明，真正的數學從來不會管自己的研究物件 比如題主所說的自然數 在自然界中存不存在，數學的研究物件完全是抽象出來的，自然數就是這樣。因此，自然數在真正的自然界存在也好，不存在也罷，反正在數學看來，自然數肯定是存在的，因為數學可以定義。我認為數學的這種抽象的方法是人類大腦最寶貴的...