1樓：jacobian
根據題設可以斷定 0" eeimg="1"/>.
x+2lnx -lnx = x+lnx" eeimg="1"/>
比較肯定的是當 1" eeimg="1"/>的時候，上面的等式是為正的。
可是當 時，上面的等式無法確定符號，說明放縮放過了，不夠，需要補。
1+ x+2lnx + (x+2lnx)^2/2-lnx -1 \\=x+lnx + (x + 2lnx)^2/2=x+lnx + x^2/2 + 2xlnx + 2(lnx)^2 " eeimg="1"/>
即使放縮到這裡也很難看清楚符號，這個可能就是這個題目難的地方。
實際上我們已經分析了，證明的難點在於x<1的情況，然後比較確切的是 和 有著完全不同的凹凸性，但是實際上也有乙個問題就是， 是並沒有確切的極大值，左極限是負無窮，右極限是正無窮，很不好處理，很難使用 的形式做處理，實際上要是經驗豐富的可以知道，乙個對數函式如果除多項式就有極值了，原式子變形一下
(1 +lnx)/x^2" eeimg="1"/>
這樣右邊的式子是可以有最值的，如果光具備凹凸性，沒有乙個限定的極值，函式分析起來還是很不方便的。但是變形一下，整個題目就變得輕鬆多了。
取 顯然極大值在 的地方取得，顯然有 1" eeimg="1"/>
函式函式 顯然在x>0的範圍裡滿足 1" eeimg="1"/>
所以實際上還是不好直接證明.實際上如果能分析一下函式的形態，會發現之所以不可以直接證明的關鍵在於 的時候 的函式值太小，不好直接進行證明，如果我們進一步改寫一下原不等式，即證明
(1 +lnx)/x^3" eeimg="1"/>
為什麼要如此進行證明了，很簡單前面說過了 在 的時候函式值太小，那想辦法弄大點，怎麼弄大，除 嘗試一下。如果有畫圖軟體的同學，很快就可以發現上面的不等式是顯然成立的。
在這裡，我們就不關於這個方法做進一步證明了，證明方法跟前面那個比較一樣。
那有沒有可能再進一步？我們發現 的附近可能是乙個比較難以處理的點，要不就在這個點附近做切線來進行一下研究。看能不能用切線將他們分離開來。
實際上真正研究 會發現及其困難，有沒可能退而求其次在其附近點研究呢，取
記現在來研究兩個函式在切點切線方程在整個定義域的取值情況
0" eeimg="1"/>
顯然 0" eeimg="1"/>而實際上又有 0" eeimg="1"/>
也就是在整個x>0的區間裡都有
2x-ln2 \geq 1+lnx" eeimg="1"/>
所以原命題的證。
2樓：Azides
記 , ,易得 0" eeimg="1"/>, .
所以 分別為其定義域上的下凸、上凸函式。關於下凸、上凸函式的乙個常用性質為：前者的切線恆在其下方，後者的切線恆在其上方。於是分別取兩函式在 處的切線 和 ,易得:; .
3樓：失落之城
補充一點
一.零點估計
則 容易知道 0" eeimg="1"/>
有 使得 ，即
故有 設
有 所以 在此區間是減函式，即 g\left( \frac \right) =\frac+\ln 2-1>0 " eeimg="1"/>
據此 g\left( \frac \right) >0 " eeimg="1"/>
當然如果算出的是小於0的話，繼續分割區間就行，雖然不比其他方法簡單，但是實用性比較好
方法總結:
1.設 0 " eeimg="1"/>或者反之
2.求導令 找到等式 ,一般將 替換成冪函式
3.求出 的範圍
4.替換等式
5.根據範圍證明 0" eeimg="1"/>，如果不成立，則縮小範圍.
二.切線放縮
當然我們也可以通過比較的方法來求解，即插入乙個函式
使得 h\left( x \right) >\ln x+1 " eeimg="1"/>
那麼插入什麼函式好呢？我們也許可以嘗試一次函式
設 有 ,我們不妨令 時導數值為0，即
帶入得到
同理 得到 ，易知
所以我們只需要
即 ，顯然，這是不可能的。
因此我們考慮更改零點，即令
那麼 同理有
顯然可以有
因此取即 \ln x+1-\frac\sqrtx " eeimg="1"/>
方法總結:要證明 g\left( x \right) " eeimg="1"/>
1.假設函式 ，如果不是一次函式或者簡單的函式準備跑路.
2.利用 求導
3.取乙個 值作為導數零點(一般畫 的影象接近點),確定乙個值
4.求出 的最大值
5.利用 確定第二個值
當然，如果要證明 不是很推薦，因為此時可能他們貼的很緊密不好找.
三.基本不等式放縮
因為 即要
不妨假設
有 求根得到
易知 0" eeimg="1"/>
所以有 0 " eeimg="1"/>
當然，這種方法是最簡單的(想得到的話)
當然，我們可以組合上面的方法.
例如我想放縮，但是怕放縮過頭，我們可以引入引數，因為
即 進而 ，這樣我們就可以控制 的取值來得到結果.
因為 不妨設
求導得到
取 得到
易知 0 " eeimg="1"/>
那麼 0 " eeimg="1"/>
留一道題:證明 0 " eeimg="1"/>(試著多種方法)
4樓：P0lyno3ial
這題簡直典中典, 方法多達114514種
和 凹凸性剛好反過來, 可以考慮用切線放
是 在 處的切線. 為什麼考慮這裡呢, 因為 就是在這附近靠的比較近, 而且這個數比較簡單 (x
那麼應該容易證 . 但是雖然我們已經盡力讓 變簡單了, 事實卻完全不是這個樣子...
所以需要再處理一下, 2x-\frac}" eeimg="1"/>.
後面這坨我們起個名字叫 . 最後證明 g(x)" eeimg="1"/>就可以啦
在允許一定的數值估算的情況下上面的步驟都可以實現, 主要是有兩個地方
2" eeimg="1"/>, 就是 2.56" eeimg="1"/>, 這個沒啥;
最後證 1+\ln x" eeimg="1"/>的時候直接求導求極值點, 會遇到乙個 \frac}" eeimg="1"/>, 如果沒有給參考取值的話就只能利用 了, 可以用 做橋, 首先 推出 , 再通過 243=3^5>e^5" eeimg="1"/>得到 \frac. " eeimg="1"/>
5樓：高考數學解題研究
這個題應該算是反轉的經典例題了，既然已經有答主回答了原問題，下面就只隨便搬點書上的內容好了。
考慮證明 \frac}} - \frac}}\ln \frac}} - \frac}}\ln \frac}} > 1\] " eeimg="1"/>
轉化為證明
這樣就可以了。
6樓：hao2718281828
考慮證明：
\dfrac \end" eeimg="1"/>.
設函式：有 故
於是 g(x)_" eeimg="1"/>故g(x)" eeimg="1"/>.
事實上，通過常用的不等式 可以更快解決：
從而0)" eeimg="1"/>，
當且僅當 等號成立.
，當且僅當 即 等號成立.
類似地，本題可以嘗試證明：
\dfrac" eeimg="1"/>
不等式的證明
大臉阿望 第8題 第9題 方法一 冪平均不等式 利用不等式 可得 即 再利用 得 於是 綜上，證畢。方法二 柯西不等式 由柯西不等式得 即 再利用柯西不等式 可得 其餘同法一。方法三 琴生不等式 設 可以驗證其二次導數在x 0時恆正，故為凹函式，利用琴生不等式得 即 由於 在x 0時單調遞增，我們用...
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