1樓：
第二問是Wirtinger不等式啊。寫乙個不用傅利葉展開的大一水平的證明吧，不會涉及太多背景。
定義裡 在 上連續可導，我就理解成 ,不然好像有點問題。利用函式在邊界處為0，我們找乙個函式把零點體現出來，與 比較一下。也就是說，記 .
兩邊求導有
兩邊平方，然後求積分，有
其中最後一項用分部積分法，我們有
注意到正弦函式在兩端點取0，所以第一項為0。第二項積分中，余弦項正好與之前的項消掉，所以我們有
代入 並捨去另外一項非負數的積分就是我們要的
等號成立當且僅當 ，也就是 ,從而
證明過程中的(*)式可以大概看出這個不等式有一定的幾何背景，從而可以自然地引入Wirtinger不等式和等周問題。
PS:如果不要求導函式在 上連續會有問題，有可能導函式不是平方可積的。即使要求平方可積也可能有問題。
在0附近取 ，則導數在0點處不連續。注意到導函式平方後有一項是 ，這個函式的暇積分在0點處不收斂。因此可以構造一列函式 是原函式的截斷，可以使 平方可積且趨於正無窮，從而 可以任意趨於0，沒有最小值。
2樓：蘇承心
常規解法傅利葉沒說的，我給乙個新思路。
注意到第一問已經確定了存在這樣的c使不等式成立，那麼令c取下確界，將兩側積分做差，構造關於f的泛函，下面用變分法求解這個積分的最值。利用尤拉方程得到f"+(1/c)f=0，代入邊界條件後直接可以解出c=(l/π)^2，以及那些使得等號成立的f。此時帶回驗證可知泛函最值為0，也就是我們要證的不等式。
這學期學了最優控制，從泛函的角度來給出預判答案還是很簡單的順便說一下，取消端點值為0的條件，上述c是最佳常數這沒啥好說的。如果給定了端點值，且互為相反數，對於這樣的函式族，上述c仍然是最佳常數(變分法能做到的極限了)。那麼現在有個新問題，如果不是相反數，會有什麼結論？
還需要再研究一下…
3樓：予一人
事實上，依Wirtinger不等式，就有
當且僅當 成立等式, 其中 為常數。這個不等式可以通過將 作 Fourier 正弦級數展開而證得。
如果你的答案不是這個，請檢查題設是否有誤。
4樓：
第一題好做，隨便放放就好了。
設 的最大值是 ，最小值是 。從而由柯西不等式(用到 不同號)
令 。第二題不是乙個容易的問題。(著名的Wirtinger不等式)用傅利葉級數算是乙個比較直接的辦法，之前有人說了。不過我查資料找到了另一種辦法，挺巧妙的，反正我想不出來(
結果是 ，這裡假設 ，方便一點。我們證明
這等價於 。我們有。由柯西不等式
得到 。類似可得 。從而可得 ， 。故上式成立。
從而 。容易驗證這是最大係數。(用 )
5樓：BenShui
利用條件 可以寫出
由 不等式可知
而後者又成立如下不等式(被積函式恆大於等於0）故有兩邊同時從 到 積分，就得到了
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