1樓：li deng
這個問題我也糾結了很久，最近網上找了一通，歸納一番感覺如下推測比較靠譜：）
1.首先cosx+isinx 這個表示式大家都覺得很直觀吧;
2.然後棣莫弗給出：cosx+isinx=(cos(x/n)+isin(x/n))^n,這個也一點問題都沒有吧？棣莫弗早生尤拉幾十年；
3.求((cos(x/n)+isin(x/n))^n的極限，當n無窮大時，民科一下就是:（1+ix/n)^n
4.再民科一下：（1+ix/n)^n這個跟e^x的定義好像哦，變下形：令m=n/ix,則((1+1/m)^m)^ix=e^ix ?
尤拉就這麼先直覺出來的？因為簡單又漂亮，然後呢再證明之。。
事實上，上述第3點我在網上找到了證明，當n->∞，lim（1+ix/n)^n=cosx+isinx，見
The number e and Euler's formula
問題是第4點（1+ix/n)^n=e^ix 我沒找到證明，上面鏈結裡實際上就是直接定義的，並且描述中還有明顯漏洞。
俺屬於高數都丟了好多年的民科，拋塊磚吧，呵呵。
2樓：
完全可以定義底為pi或者為10，只是微分的形式複雜一點。所以我個人認為，尤拉公式是定義了倒數形式以後推出來的。如果定義倒數為其他，那會有其他的定義，並不影響性質
3樓：
印象中某本數學物理方法書是把尤拉公式當成定義的。
我的理解，虛數的極座標形式下的乘法剛好和指數乘法看上去一樣，所以可以這樣定義，或者說這樣定義可以帶來一些便利。
虛數乘法：令v1 = r1* (cos θ1 + i sin θ1), v2 = r2 * (cos θ2 + i sin θ2)
則v1 * v2 = r1 * r2 (cos (θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2))
指數乘法：令v1 = r1 * e ^ θ1, v2 = r2 * e ^ θ2
則v1 * v2 = r1 * r2 * e ^ (θ1 + θ2)
兩者都符合f (r1, θ1) * f (r2, θ2) = f (r1*r2, θ1+θ2)的形式，而指數形式寫起來比較便利。
4樓：羅遙
pi是在求圓面積的時候的乙個謎團。古希臘人證明了圓的面積和半徑的平方成正比，S=kr^2。k就是pi。至於e，是在求指數函式的導數是產生的。嘴上不好講。上圖
5樓：阿嫲
令f(x)=cosx+isinx.
f'(x)=-sinx+icosx=if(x).
這是乙個一階常係數微分方程，直接移項積分，得f(x)=Ce^(ix),
由原方程知C=1.
於是e^(ix)=cosx+isinx.
令x=π，便得到e^(iπ)+1=0.證畢.
尤拉公式 e ix cosx isinx 能不能用初等的方法推導出來？
不能，事實上僅用初等的框架連e x是不是乙個定義良好的函式都說不清。更誇張一點，甚至講不清楚2 x是什麼。至於複數做指數代表的意思，等式右端已經告訴你了。 PiKaChuu 個人認為幾乎不太可能 個人理解，如果e x沒有嚴格的在非實數區域進行定義，是無法嚴格推廣到複數域的，誰告訴你x可以取複數了 要...
尤拉公式e ix的模為什麼總是1 請不要用尤拉公式展開來運算 ？
費曼愛諾依曼 實際上，不僅是e的ix次方的模始終是1，任何正實數的ix次方的模都是1。關鍵就在於x前面那個虛數單位i，它與x相乘後，其乘積的意義不再是實數的意義，這個積當它作為某一實數的指數時，其意義是向量在復平面內的幅角，同時向量的模不變。e的 ix y 次方裡的y才會改變向量的模。只改變y的大小...
有多少以尤拉（Euler）命名的定理或者公式？
力學裡面的尤拉角 尤拉方程就可以解所有剛體的問題了，非常厲害。比如乙個不受力的剛體，角速度不沿慣性主軸情況下的運動情況，還有固定角速度情況下軸承所受到的作用力的求解。不用尤拉方程將會非常難做。個人覺得Idot w w Iw M是尤拉最偉大的公式。 尤拉風 氣象學中稱一種僅受大氣壓力作用的風 尤拉法 ...