1樓：
不能，事實上僅用初等的框架連e^x是不是乙個定義良好的函式都說不清。更誇張一點，甚至講不清楚2^x是什麼。
至於複數做指數代表的意思，等式右端已經告訴你了。
2樓：PiKaChuu
個人認為幾乎不太可能
個人理解，如果e^x沒有嚴格的在非實數區域進行定義，是無法嚴格推廣到複數域的，誰告訴你x可以取複數了
要推廣，行，你得延拓
復變函式基礎知識告訴我們，可解析的延拓函式結果只有乙個，而它就是我們現在天天用的e^x
否則連e^i到底是什麼這種問題你都回答不了，別忘了i這種東西本身在實數域內不存在，e^x也是實數域弄出來的，對於無理數的e^x取值都是靠有理數逼近定義的，這個逼近過程個人感覺是跟實數空間的完備性相關
當然，複數空間也是完備的，但是和實數比較還是差太多，定義無理數用的是已經定義的有理數，換句話說已經定義過的點要夠多，多到稠密才行，而實數軸在複數空間並不能做到稠密
而如今的結果是直接冪級數展開推到複數域進行定義的，這樣做的前提就是得到的函式依然解析，然後就是一通操作猛如虎了
當年尤拉可能給出了各種「推導公式」，但是個人認為都只是提供乙個思路，但是作為嚴格證明是絕對不行的。當然這種直觀的思路也非常重要
如果你希望重新在複數域建立一種順序，那也行，不過很遺憾的告訴你，建立這種順序以後就算費了九牛二虎之力定義了e^x，也不一定能如你所願的有各種你期望看到的性質，依託實數定義複數並非不可行，事實上實數和複數等勢，那應該是存在一種一一對映的，很遺憾，這種一一對映性質應當很差，連實數和複數同構都做不到，沒有太大意義（都是個人的一些奇奇怪怪的想法）
3樓：絕對零
我知道乙個物理方法（需要高中物理圓周運動的知識），雖然還是用了求導。設一質點的位置函式為x（t）=e∧（it）.求導得v（t）=ie∧（it）,再求導就是加速度a（t）=-e∧（it）=iv（t）.
這樣在復平面上，加速度始終與速度方向垂直.所以速度大小不變，加速度大小也不變，是圓周運動，這說明x(t)實際上是等於cost+isint的.
4樓：
我高中也有過這個困擾，但後來我想明白了。其實很簡單，虛數作為指數不是生而就有含義的，而是人們賦予它含義的。這個可以是任意的，只不過人們通常要求它代表這個結果。
高中階段正確的做法是把這個式子當成虛數指數的定義就行了，而且事實上完全可以這麼做。在求其它數的複數指數時都轉化到利用這個式子 + 指數 / 對數基本運算規律。
5樓：申強
不知道這樣是否涉嫌迴圈論證了：
求導等於原來乘i——加速度等於速度乘i乘某個係數——表示帶電粒子的運動方向與磁場垂直，在洛倫茲力作用下的運動方式——是圓周運動。
6樓：dengli
尤拉當年是這麼推的：
首先cosx+isinx這個複數定義沒問題吧？然後，cosx+isinx=(cos(x/n)+isin(x/n))^n, 這個也是高中學過的棣莫弗公式的簡單推論。
當n－＞∞， cos(x/n)=1,sin(x/n)=x/n,這個簡單，但
(cos(x/n)+isin(x/n))^n=（1+ix/n）^n（可以這樣求極限？反正尤拉是這麼求的~）
如果ix是實數，令n=m*ix，按e的定義：（1+ix/n）^n=（1+1/m）^(m*ix)=e^(ix) ，就這麼簡單。
問題ix不是實數，但尤拉也就這麼令了！那結果就只能這樣了，驚不驚喜？意不意外？
不信請查尤拉的 《無窮分析引論》，有中文版。
7樓：科技方子春
哇這個簡單
你看f(x)=cos(x)+i*sin(x)，求導得f'(x)=-sin(x)+i*cos(x)=i*f(x)
再看g(x)=e^(i*x)，求導得g'(x)=i*e^(i*x)=i*g(x)
又有f(0)=g(0)=1
因此f(x)=g(x)是顯然的（光速逃
8樓：鋼鐵俠
@軍神就像軍神所說，沒有極限的知識，你連e怎麼來的都不知道。理解了e就知道e的i次方裡的i代表利率為i。這個指數增加只在垂直方向增加，所以構成乙個圓，後面就好理解了，右邊是自然而然的結果！
9樓：羥基氧
不要說什麼初等方法，這就是個定義問題。實變函式 到復變函式 並不是乙個理所當然的結果，而是需要定義，一旦給出定義那麼結論就容易得出。
下面給出三個 的定義方法，最後乙個可能是題主想要的「初等」方法：
1.
不論用什麼方法定義 總歸可以得到：
我們把它們作為定義推廣到複數域：
可以證明三個級數的收斂半徑都是正無窮。
將 代入，得：
對比可得（利用級數的四則運算）：
2.
更省事的辦法是，按上述方法定義 以後，直接這樣定義「三角函式」（函式名大寫以區別於實變函式中的三角函式）：
這樣的話，「尤拉公式」是顯然的：
我們接下來要做的是，確定在複數域上定義的「三角函式」在自變數為實數的時候是否與在實數域上定義的三角函式相等，答案是相等的，因此我們不妨把 改寫作 ， 改寫作 ，就得到了尤拉公式：
3.
前面兩個定義方法的觀點是將實變函式的級數形式推廣到複數域，或者證明復變函式定義在自變數限定於實數時與實變函式相等。這個方法的觀點是，推廣之後的函式仍然保留指數函式的基本性質，即：
雖然 這個復變函式其實是滿足這個性質的，但是我們換一種方法，我們這次根據這個基本性質，確定兩個實變函式 ，使得
根據指數函式性質有
顯然是實數，那麼實際上我們要做的只是找到兩個實變函式 ，使得
而為了滿足指數函式的基本性質
化簡一下：
即：我們一下就可以看出來 就是我們要找的函式。
因此我們可以如此定義：
接下來我們就可以把復變函式 定義為
這樣能夠滿足指數函式的基本性質：
但是這個方法有乙個大問題，取 其實也行。所以我們需要加強一下條件，把求導不變性 也加上去，這樣就只會有一種取法了！換言之，我們得要求 是乙個解析函式， 但是其實只要這乙個條件就足夠了。
尤拉公式是 解析延拓的結果，如果延拓不解析就沒有尤拉公式。
10樓：「已登出」
應該不能，在初等的概念裡面，e是個怪胎。加減乘除哪怕是開平方搞出無理數，但是沒法搞定e。所以也就不能指望搞定尤拉公式了。
畢竟，你連e是怎麼來的都不知道，又怎麼能推導得到關於e的性質呢？
11樓：Trueman
凡是涉及無理數的公式都不能用初等方法推理出來。
高中的所有基本公式都沒有推理而是死記硬背。
初等高等的區別就在於有內有取極限這個過程。
12樓：
e^x可以用廣義二項式推出來(級數)
(arcsin(x))'也可以用廣義二項式推出來(級數)，可是，這就涉及導數了，算高等麼？
最簡單的積分得到arcsin(x)級數
暴力破解，硬算得到逆級數sin(x)
暴力破解，硬算得到cos(x)級數
e^x≈cos(x)+sin(x)，除了符號變換之外以往用(-1)^n來變換符號，n奇為負，n偶為正，這次不行了，需要1次為正，2次為負，3次為負，4次為正
5次為正，6次為負，7次為負，8次為正
9次為正……
引入(-1)^0.5
能完美解決符號問題，記做i，因為負數不能開平方，所以i是想象數（直譯，意譯則是虛數），需要想象
有了想象數i，則
以上就是牛頓、尤拉和伯努利幹的事情
《微積分的歷程》
尤拉公式 e i k cos k i sin k 的來歷是什麼？
li deng 這個問題我也糾結了很久，最近網上找了一通，歸納一番感覺如下推測比較靠譜 1.首先cosx isinx 這個表示式大家都覺得很直觀吧 2.然後棣莫弗給出 cosx isinx cos x n isin x n n,這個也一點問題都沒有吧？棣莫弗早生尤拉幾十年 3.求 cos x n i...
尤拉公式e ix的模為什麼總是1 請不要用尤拉公式展開來運算 ？
費曼愛諾依曼 實際上，不僅是e的ix次方的模始終是1，任何正實數的ix次方的模都是1。關鍵就在於x前面那個虛數單位i，它與x相乘後，其乘積的意義不再是實數的意義，這個積當它作為某一實數的指數時，其意義是向量在復平面內的幅角，同時向量的模不變。e的 ix y 次方裡的y才會改變向量的模。只改變y的大小...
有多少以尤拉（Euler）命名的定理或者公式？
力學裡面的尤拉角 尤拉方程就可以解所有剛體的問題了，非常厲害。比如乙個不受力的剛體，角速度不沿慣性主軸情況下的運動情況，還有固定角速度情況下軸承所受到的作用力的求解。不用尤拉方程將會非常難做。個人覺得Idot w w Iw M是尤拉最偉大的公式。 尤拉風 氣象學中稱一種僅受大氣壓力作用的風 尤拉法 ...