1樓：神魔協奏
全體複數配以乘法構成乙個李群，其中，以0為中心的單位圓是它的乙個李子群（它與SO(2)同構），單位元是1，在z=1處的切矢μ與這個子群之間有乙個指數對映：exp(tμ)=γ(t)。實際上，整個復平面在z=1處的切空間又成為乙個復平面，尤拉公式就是這個切空間到復平面的指數對映
2樓：遙相輝映的戰士
這裡有一種直觀的方法，自然對數e的定義是e=(1+dx)^(1/dx)，dx趨於0，dx可以是任意無窮小量，包括正無窮小負無窮小實數無窮小虛數無窮小
複數相乘有這樣乙個性質，兩個複數a，b相乘得到的複數出c相當於a，b複數在復平面上的夾角疊加，模相乘現在假設有乙個虛部無窮小的複數p=1+idx，可以證明複數q=(1+idx)^n，不管n為幾，q的模都為1，n的變化只會帶來複數d在復平面上轉動的角度變化，由幾何關係可以知道，p相當於把1在復平面上轉動弧度dx，p^2相當於把1在復平面上轉動弧度2dx，以此類推(1+idx)^(1/dx)相當於把1在復平面上轉動弧度1，(1+idx)^(x/dx)相當於把1在復平面上轉動弧度x
所以我們可以用乙個式子來描述，(1+idx)^(x/dx)=cosx+isinx
然後前面說過，自然對數e的定義是(1+dx)^(1/dx)，令idx=dt，即(1+idx)^(x/dx)可化為(1+dt)^(ix/dt)=((1+dt)^(1/dt))^ix，前面說過e=(1+dx)^(1/dx)，dx可以是任意的無窮小量，所以，可得(1+idx)^(x/dx)=((1+dt)^(1/dt))^ix=e^ix
又因為(1+idx)^(x/dx)=cosx+isinx
最終可得e^ix=cosx+isinx
3樓：Will
我不知道是誰發明的用泰勒展開證明尤拉公式，泰勒展開明明是在實數域上推導出的，i 是個啥玩意都還不明不白，怎麼就直接套用到複數域上了，玩符號遊戲嗎？代入 i 可以不知道代入漢字行不行？
不過話說回來，如果尤拉公式用在泰勒展開上失效，那尤拉公式也就不能這麼規定了。尤拉公式就像規定 0! = 1 一般，對已知的各種運算，比如指數乘法，求導，求積分等，它都是符合的，所以是合理的。
e為底的指數函式的特徵就是導函式是其自身，符合這個特徵的另一類函式就是正/余弦函式（雖然差了個相位）。也許冥冥之中就是因為這決定了尤拉公式成立。乙個一去不復返的非週期函式，可以和週期函式建立聯絡，甚為玄妙。
突然想到了熱寂論。也許，熱寂也是有解的，宇宙終將周而復始。
4樓：titky
數學思維很重要的一點是推廣，e的指數函式的核心特徵就是導函式＝原函式，這句話也可以描述成乙個微分方程。
為了滿足這個方程，讓複數域的泰勒展式成立就是很自然的嘗試，逐項求導的形式完美；進一步地，根據i的特性，可以拆成兩個三角函式的泰勒展開之和，完美。
我覺得這就是個樸實、自然而大膽的嘗試，尤拉雖然是天才，也需要連猜帶蒙的過程，天才在於可以蒙的很上道。
5樓：呀嘞呀嘞
先把e^x定義成形式冪級數，然後用abel收斂定理證明在全平面收斂並且滿足e^=e^xe^y，然後就是簡單的計算。
值得指出的是，一般情況下C是作為R的二次擴充套件定義的，C上可以自然定義乘法，但是立莫弗公式需要先證明e^x的存在性才能用因為立莫弗公式本身基於C上存在乙個把C打到C挖去0的全純函式。所以這個題目下很多答案都有迴圈論證的問題。
6樓：空間之刃
已經有好幾個人問類似的問題了……
首先是棣莫弗公式：P(x)=cosx+isinx，則P(a)P(b)=P(a+b)
這可以看做前尤拉公式。
接下來，是f(a)f(b)=f(a+b)。這種形式的公式前人創造了好多好多，為的是把乘除法轉換成加減法以減少計算量。
而尤拉最後發現，所有的這種形式的公式，本質上就是指數函式。自然對數的底數e不是尤拉發現的，但最終以尤拉的名字命名，可見尤拉在這方面的影響力多麼強大。
而棣莫弗公式，也是f(a)f(b)=f(a+b)的形式，按理說也應該是指數函式。那它是什麼指數函式呢？於是，尤拉公式誕生了。
我也不知道尤拉當年是怎麼想的，但從歷史發展的程序上看，尤拉公式絕不是憑空冒出來的，它也是從低階到高階一點一點不斷發現的。
7樓：托馬斯維德
極座標和直角座標的變換知道吧
極座標下極軸是實部極角是虛部直角座標下x是實部 y是虛部
而（1,i）這些可以理解為正交向量如此尤拉公式就是向量在極座標和直角座標的兩個正交座標系的轉換
8樓：史建偉
說一說我怎麼發現的吧
我高一的時候弄的，下面是簡述，你自己可以詳細展開對 求積分
一方面，按照正常的換元方法，這個積分等於
另一方面，你可以用裂項(當時沒想到這個 的事情，自己生憋出來的)：
然後就可以寫成兩個對數函式，這個和 相等，就得到尤拉公式了(常數 不用管，最後把0帶進去就是了)
9樓：tetradecane
額，我並不知道尤拉當初是怎麼發現的，但是我能給出一種從「復變函式唯一性定理」來的直觀思路。
目前我們要定義的是複數 ，它有實部與虛部，設 . 我們希望找到一種合理的方式定義實函式 和 的解析式。怎樣的定義是合理的呢？可導/解析性！
我們知道實函式 是處處可導的，我們希望構造一復變函式 相容它，並且盡量解析。根據唯一性定理，這樣的 只有一種！
假設 解析且 ，那麼
對應實部虛部得
那麼 ，這是個二階常係數齊次線性微分方程，解得
然後代入初值x=0得
故就把這個作為 的定義啦！
差點忘了，三藍一棕也對尤拉公式進行了直觀解釋：
【官方雙語】微分方程概論-第五章：在3.14分鐘內理解e^iπ_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili
10樓：TravorLZH
我們可以從複數的旋轉特性中匯出這一性質。為了避免在複數乘法中改變模長，我們決定只考慮單位圓上的點 其中 滿足 ，現在設z與橫軸的幅角為 ，則 的幅角為 。有根據單位圓的幾何性質，我們得知 。
結合起來我們便得到了棣莫佛公式：
類似地，我們可以把離散推廣至連續，得到最終的旋轉係數由於這個等式對於所有的實數 成立，所以這對它的導數也應該成立，因此：
由於帶括號的部分相等，所以：
在不嚴謹的意義下，我們可以匯出 ，因此有：
11樓：吾欲攬六龍
提供一種想到復平面單位圓證法的思路。
很容易就能看到這麼三點
無論是sinx還是cosx，求導都相當於逆時針旋轉π/2。
對乙個複數給它乘以i，相當於給它逆時針旋轉π/2。
由此就不難想到，在復平面上，那個單位圓上的數cosx+isinx求導應該就是乘i，而求導就乘i似乎是ae^ix的性質。
以上就是怎麼想到復平面單位圓正法。
證明就解這個微分方程就好了。
dy/dx=iy
解出來是y=ae^ix=cosx+isinx把x=0代入解得a=1。
完事兒。
12樓：
早年我也被這個 搞得一愣一愣的。後來才漸漸明白了在複數域 不是代表 ，而是 。請仔細閱讀 Exponential function。
重要：exp(z)是乙個定義式！！！！！
從上面的定義，得出右邊
從而得出著名的 exp(it) = cos(t) + i sin(t)。
Term-wise multiplication of two copies of these power series in the Cauchy sense, permitted by Mertens' theorem, shows that the defining multiplicative property of exponential functions continues to hold for all complex arguments:
就是說神奇的地方在於，根據上面那個定義式，居然同樣滿足exp(w+z)=exp(w)exp(z) 等其他那些運算法則。當然這些運算法則是要在定義式的前提下加以證明了的。所以尤拉公式雖然從定義出發，但是其運算在推導中是很嚴謹的，由虛數 以及exp(z)這兩者的定義推導出了運算法則。
wiki上指出也是乙個定義式，但用exp(z)本身的定義能得到後面的結果嗎？
我認為複數域本身只是乙個自洽的數學系統，並且由於這幾個定義，它完美的和實數系統「相容」上了，這個就它的神奇之處。正是運算上，其實就是最終數值的運算結果自洽與「相容」，所以它可以有各種應用，但是它的物理意義其實在應用上去理解的（複數域本身不能叫做有「物理」意義，那只是它的性質）。比如工程上用Re 取代 cos(wt)，最終計算完成後再取Re{}就是結果，簡單而且明了。
我猜測當初尤拉是把虛數代入到指數函式exp(x)的泰勒展開式，最終得到了結果，並發現了它的神奇之處。在指數域exp(z)只是乙個符號（代表了它的定義）僅此而已。
13樓：張四
見尤拉《無窮分析引論》上冊
尤拉從極其自然的假設（當為無窮小時，也為無窮小）出發，經過繽紛莫測的初等運算最終匯出了尤拉公式。這種簡單樸素的風格在古典文獻中非常普遍，但在「當代」文獻中極其罕見。
具體過程有時間再補。
其他李群李代數、微分\函式方程、復變函式等匯出方法和解釋則反映了尤拉公式的深刻和廣泛性。
14樓：翔譽
下面是摘自張筑生《新講》第一冊關於Euler公式的證明由於我們常說的e^x是針對實數域而言的，所以我們首先要對複數域上的e^x進行定義，這和e^x在實數域上的定義是完全類似的
證明要用到一點關於複數的性質：
接下來我們就可以開始證明了：
在證明的過程中，我們可以看到，e^ix與三角函式的關係，本質上是複數與三角的關係
而複數與三角的關係是明顯的——我們通過觀察復平面，很自然的引入複數的極座標表示。
15樓：
這樣看吧，
對於簡諧振動：mx"=-kx，這一微分方程求解。
第一種：猜測，什麼函式求導兩次等於自己加負號呢？當然是三角函式啦。於是你很開心の用三角函式x(t)=Asin(wt+c)來描述簡諧運動。
第二種：處於某種好奇心，你想嘗試用手解一解這個簡單的微分方程。積分變數替換，分離變數兩邊做積分，一步一步解下來你竟然發現，得到的不是三角函式！
不是三角函式！
不是三角函式！
得到的是e^iwt
⊙_⊙……怎麼會這樣呢！
於是你開始思考……
對於方程，x"=-x，(m=k=1)
在給定 x'(0)，和x(0)以後，方程的特解就確定了。
然後你把，x(t)=e^it代入方程，發現方程成立再把，x(t)=isint+cost代入方程，發現方程也成立。
這只能說明，這倆函式相等……
但你還是不能理解……
這究竟是為什麼呢(=^^=)……
三角函式很直觀的說……
x(t)=e^it這是個什麼鬼(-_-)……它和簡諧運動有關毛關係啊！
直到有一天你看到了復平面，想起了那在高一就已經學到了的勻速圓周運動……
尤拉公式 e i k cos k i sin k 的來歷是什麼？
li deng 這個問題我也糾結了很久，最近網上找了一通，歸納一番感覺如下推測比較靠譜 1.首先cosx isinx 這個表示式大家都覺得很直觀吧 2.然後棣莫弗給出 cosx isinx cos x n isin x n n,這個也一點問題都沒有吧？棣莫弗早生尤拉幾十年 3.求 cos x n i...
如何在不使用尤拉公式的情況下證明cos0 cos cos2 cos n 0
非常容易想到的是積化和差吧，乘以sin 西塔 2 或者用兩種cos的展開相消掉會得到這個和乘以乙個非0數為0，看到樓上乙個回答也是類似方法，只是變成了二元一次方程組。或者看到還有乙個回答是向量法，的確是可以行的。尤拉方程的本質就是一種母函式方法，因此使用任意一種可行的母函式即可。 rsa 如果不想用...
尤拉公式是定義的還是推導出來的？
烙茲 痙攣劇痛 推導特里斯坦 尼達姆的 視覺化方法 給出了一種比較簡單證明。首先，對於 若令 則 這一求和得到的結果仍是複數，所以我們可以拆分為實部 和虛部即 由於虛部 實部的參量各自收斂，所以該複數項級數最終也收斂於復平面上一點 這裡還可以看見 其實這一步也能直接對比三角函式冪級數 對於乙個和th...