1樓：
非常容易想到的是積化和差吧，乘以sin(西塔/2),或者用兩種cos的展開相消掉會得到這個和乘以乙個非0數為0，看到樓上乙個回答也是類似方法，只是變成了二元一次方程組。
或者看到還有乙個回答是向量法，的確是可以行的。
尤拉方程的本質就是一種母函式方法，因此使用任意一種可行的母函式即可。
2樓：rsa
如果不想用複數的話，可以把用複數的證法直接翻譯成實數的。
設C=cos0+cosθ+cos2θ+…+cos nθS=sin0+sinθ+sin2θ+…+sin nθ則Ccosθ-Ssinθ=cos(0+θ)+cos(θ+θ)+…+cos(nθ+θ)=C
Csinθ+Scosθ=sin(0+θ)+sin(θ+θ)+…+sin(nθ+θ)=S
這是個關於C,S的二元一次方程組，容易解得C=S=0。
3樓：張羽
畫個單位圓，等分n份，連線構成正n邊形。原點到每個頂點的向量和由對稱性得知端點落在原點處，即橫座標為0。而頂點橫座標的和就是余弦函式的n次求和，所以和為0。
4樓：電波中毒
看完樓上大哥，來個不一樣的，出錯指正。
看到尤拉公式就想到傅利葉變換了。
令θ＝t;
對整體傅利葉變換，取單邊頻譜，得到角頻率分別為0，1，2...n，幅度均為1的離散譜。
把它當做連續訊號以n為取樣率，進行離散傅利葉變換得到的頻譜。
現在以mn(m為正整數)取樣率無失真還原時間訊號，顯然有個t＝0(即θ＝0)時刻的衝擊函式，只在0時刻有值，但根據題意，θ不可以取零。得證
5樓：靈劍
畫乙個邊長為1的正n+1邊形，顯然各個向量的和為0，得證
代數一點的方法當然也是有的，乘以sin(θ/2)然後積化和差立得
6樓：
考慮cosθ是e^iθ的實部，那麼就試著把尤拉公式證法裡的e^iθ都取一下實部唄。
記 ，我們有 ：
由積化和差公式 ，有：
由 ，有 ， ，因此：
即 再由 得
Q.E.D.
7樓：
這種三角函式求和，如果角度是等差數列，只要整體乘上公差一半的正弦值再除掉，就能用積化和差裂項相消。
例如這個問題，因為(n+1)θ=2π，所以θ不等於kπ，sin(kθ)不為0。
cos(0)+cos(θ)+···+cos(nθ)
=sin(θ/2)(cos(0)+cos(θ)+···+cos(nθ))/sin(θ/2)
=1/2[(sin(θ/2)-sin(-θ/2))+(sin(3θ/2)-sin(θ/2))+···+(sin((2n+1)θ/2)-sin((2n-1)θ/2))]/sin(θ/2)
=1/2[-sin(-θ/2)+sin((2n+1)θ/2)]/sin(θ/2)
=1/2[sin(θ/2)+sin(-θ/2+2π)]/sin(θ/2)=0
8樓：ClaireZhang
在影象上都對應了點，2派是個週期，所以抵消了……傻乎乎不會做題的人的，只會畫個圖。
然後我居然坐在電腦前看這個題看了半小時，得出乙個結論我居然還想用我的數學水平解題？我怕是有什麼毛病了……
9樓：田子何
等式左邊每一項依次是乙個正n+1變形沿逆時針各條邊的向量在第一條邊方向上的投影。
向量投影的和等於和的投影。
這些向量首尾相接封閉，最終回到起點，和為（零，零）。
所以左邊=投影之和=和之投影=零。
10樓：無心
錯了錯了，cos(π-θ)才等於-cosθcos(2π-θ)=-cosθ
所以cos(nθ)=-cosθ，cos(n-1)θ=-cos2θ，……
原式倒過來，加上原式，有
2cos0+(cosθ+cos(nθ))+(cos2θ+cos(n-1)θ)+……
後面全部抵消
原式=2cos0/2=0
11樓：def think
說個物理上的理解，方向均勻大小相等的力的合力為零，因此合力在x軸上的分量也為零，得到等式。但力的向量思想實際上與尤拉公式的複數思想是相通的。
另外從物理角度看，你可以取其中某兩個力的作用方向的角平分線，然後將兩邊的力都投影到這個方向的法向上，那麼由於對稱性，它們將兩兩相消，這個對應於等式左邊×半形的正弦然後積化和差消去各項。
12樓：薛丁格的月亮
你這裡n已經是整數了（而且應該是正整數），那麼根據余弦的水平誘導公式，可得，。
現在，原題的式子的通項是。那麼，由（1）式，可得
。設n為奇數，那麼有
，而其中。於是
。再由（2）式，有
，對上式，兩邊 從 向 求和，得
。容易發現，上式兩邊求和之後是同乙個式子（忽略右邊的負號），因為當 取遍，有 取遍 ，且有 取遍 ，即有
，於是以上兩個式子相加得，
，再結合（3）式，便有
。插一下……此時，這個命題在幾何上是顯然的啊。根據余弦函式的單位圓定義，你這一系列角，在單位圓上面，是均勻排開的啊，而且正好把這個圓平分成（n+1）等分（偶數個），那麼你要是分別把這些角在單位圓上面表示出來的話，它們一定是關於y軸對稱的，那麼，把一一對應的那些對放在一塊計算，於是全部消掉咯，就等於0了。
當n為偶數……不會證。。因為此時它們不關於y軸對稱，dealless。。。
突然有思緒了……這樣子，先丟擲積化和差公式：
，於是有
現在， ，且由正弦函式的水平誘導公式，有
，於是得：
，於是原式 。
證訖啦！
13樓：予一人
需要限制 考慮利用複數，設
顯然 根據De Moivre公式，有
兩端對 從 到 作和，得
但是，注意到左端而於是
由實部對應相等，即得
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