1樓：
說白了，這種代換的本質就是利用了函式的對稱性 。。
只要函式有對稱軸和對稱點，並且是在關於對稱點或對稱軸上的對稱區間裡就可以用。。實質跟奇偶函式對稱區間的積分性質是一樣的。。
之前的回答太簡略了，鑑於一些人get不到我的意思，對這個回答做進一步解釋。
一般該公式的應用並不是基於原式，而是對其變形式應用較多。
將原式 ：變形
得到變形式：
原式從左到右的轉換，並未對計算提供有效幫助，因為被積函式和 屬於同一類函式。若忽律常係數 ，變形式的被積函式是 。相比於原式，它可能會使計算變得簡單，甚至使一些無法直接求得的定積分，通過這種變形間接求出。
以下舉幾個例子：
一、若被積函式滿足 ，且 是乙個容易積分的初等函式。
1.1 , ：
易得到這也正好是奇函式的積分性質。
1.2 , ：
令 ，代入變形式易得到：
1.3 , , ：
令 ，代入變形式易得到：
注意到所以 二、若被積函式滿足 ，其中，為非線性函式，滿足積分區間上單調，且 ， ， 為容易積分的初等函式。
2.1 求
這是乙個很常見的題目，在很多習題集上出現過，一種經典的做法為：
令 ，代入之前的變形式，易得到：
注意到在積分區間內：
所以，2.2 求
這是將上面題目稍加改動的複雜形式，做法也同2.1類似，令 則有：
注意到在積分區間內：
所以，2.2還可以繼續推廣到更為一般的情況：
若， ， 其中，， 為初等函式，則
PS：應該不會有人出這種奇巧淫技的東西，這是答主以前閒著沒事算的。。。
在此詳細解釋一下之前說的對稱性：
若函式關於 中心對稱，則有，顯然這是符合這個公式的簡化條件的。
若函式關於 軸對稱，則有 ，同樣可以進行簡化。
綜上兩點，具備一定對稱性的函式可以被這個公式簡化運算過程，這也是我為什麼提對稱性的原因
最後，得出結論：這類公式一般用在兩個情況下，一是被積函式在這個區間有一定的對稱性，二是被積函式可以通過那個變形式轉換成另乙個較為簡易函式的積分。第一種情況實際是第二種情況的退化版本。
2樓：我也想要兩顆西柚
區間再現公式的精妙之處在於，可以不改變積分區域的情況下對被積函式進行改造。
這也就是我們思考什麼時候需要用到區間再現公式的關鍵。
當三角函式摻雜在複雜的指數對數或者普通的多項式中（如x*丨sinx丨），且積分區域是含π/2、π等這樣形式的時候，就適合用區間再現公式。
這樣一來積分區域不會變化，而變數代換導致的三角函式裡x的替換又可通過誘導公式去掉複雜的形式。
舉個栗子
以下是區間再現公式的證明及應用：
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