1樓：楊樹森
給出兩個觀點：求原函式的問題本身是有意義的，但是專門開設一章叫不定積分屬於多此一舉；積分的換元法是有意義的，但是將它分成兩類屬於多此一舉。第乙個觀點的論述作為前提，不在這個問題的範圍內，所以只論述第二個。
什麼叫積分的換元法？有些積分本身不容易算出，但是可以找到適當的變數替換，經過此操作以後就容易計算了。
先不談深入的理論問題，給出乙個經典的例子
這種帶有根號的積分可以通過三角換元解決。記 則
這樣的換元法常常被稱為是第二類換元法。接下來記 則
這樣的換元法常常被稱為是第一類換元法。然而兩類換元法本質上沒有區別。
不論是哪種換元法，所謂找到乙個換元，是指找到乙個沿正方向連續可微的同胚。意思是說，換元總是可以表示為 其中 是有連續反函式的連續可微函式。設 是 上的連續函式， 是 上的有連續反函式的連續可微函式， 則
所謂的第二類換元法便是這樣的換元法。例如剛才的 正弦函式在 上符合條件。而所謂的第一類換元法，不過是首先找到 的反函式，再求出 並進行接下來的計算。
就像剛才的 不過是 然後與第二類換元法沒有任何區別。
如果非要認為兩種換元法有區別，就是在說 可以不是同胚，也就可以沒有反函式。確實，上面的換元法可以做這樣的推廣，但是沒有本質上的意義。反而是這樣追求推廣的心態，耽誤了對換元的本質意義的教學，讓人搞不明白。
而且到了多元微積分，換元法就不能這樣推廣了。
2樓：趙者也
一切源於這個式子：y'dx = dy
微分就是個吸吸樂。可以把外式子中的導函式吸到裡面，變成原函式。
譬如（3x^2)dx，dx可以直接把外面的式子吸進來。變成d（x^3)，這兩個是相等的。
同理，d（x^3)也可以把算式吐出來，變成(3x^2)dx。
一句話，就是式子要出微分，就變導數，要進微分，就變原函式。
利用這個微分的吸吸樂性質，吸掉外式中的式子或者吐出新的式子，以把外式湊的更好計算。這就是第一換元法和第二換元法。
吸式子好理解，吐式子的話，乙個dx彷彿吐不出什麼來，只能吐1，也就是dx可以無限變成1*dx，1*1*dx這樣。因為1 是 x的導數嘛。顯然這樣沒什麼意義，那怎樣讓dx可以吐出方便計算的式子呢？
答案就是把x給代換，換成乙個方便計算的形式（這時候主要是觀察外式，看把x變成什麼樣更適合計算）把所有的x都代換了後，dx自然也變成乙個複雜的式子，此時我們把dx裡面的式子完全吐乾淨，再計算，算完後整個式子就不帶任何微積分號了，再把x代換回去就行了。
然後有個特別方便的代換，dx = d（x+C），也就是說微分式可以隨便加常數係數。這時候連代換都可以省。
3樓：linsky
我理解的換元法的本質是對映與變換,原本一元函式是以x y方向上的單位向量作為基的，通過變換將乙個函式對映到另乙個以特定基組成的空間，為了積分方便直觀，和線性代數學過的類似，這樣做的目的是為了能夠方便求出被積函式原函式。求出原函式後，再按照相同的規則對映回原來空間，就可以求解這類原函式很難直接出來的積分。
4樓：Srauni
在我的理解裡，這玩意就是解這類積分的
把x換為asint，再把a提出來，就變成了然後你看，他就變成了
香不香，這玩意好求吧
為什麼叫第二類換元，我也搞不懂，我自己感覺第一類就是湊，第二類就是換完整步驟就在這裡了
順帶一提，第二類的適用範圍
你看3 4 5都是這種三角變換，原理也是倆三角函式的的平方和為1至於1 2 6，我也不會（逃
如果是空間曲線的第二類曲線積分如何思考呢？
這個問題太巨集觀了，想要理解去看同濟高數七年級下冊第十章，有對這個的全面介紹 比如，你長了翅膀，帶著乙個箱子，飛起來，你要對箱子做功。而你不是恆定的力，你時大時小，和你的心情有關，你的力可以分解成空間中的三個分量，現在求你對箱子做了多少功。抽象成數學問題，就變成了第二類曲線積分了。第二類曲線積分，與...
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