1樓：定諤的貓小弟
∫f(x)dx -----＞若求不定積分結構複雜，那麼使用第二類換元法，向x下游構造關於X的代數運算元x＝@（t）,
則∫f(x)dx-----＞∫f(@t)d@（t）
如果原函式存在，那麼可以記為#（t）
由於∫f(@t)d@（t）可以看做對乙個復合函式運用了鏈條法則，也就是，
#(t)'＝#(u)'u'＝f(@(t)@(t)'
由於x＝@(t),所以#(t)中把@(t)替換成x也就得到f(x)的原函式，#(t)＝(f。@)(x)＝f(@(x))
這個方法可以忽略反函式造成的影響！！！！
當然也可以用反函式@_(x)＝t，
第二種理解就是傳統理解，也就是#(t)中把t＝@_(x)
可以證明只要x＝@(t)單調可導，且導數不為0，則#(t)'＝#(@_(x))'＝f（@(@_(x))（@(@_(x)))'＝f(x)x'＝f(x)
所以第二類換元理論上是比較嚴謹的，沒有問題！
但網路上有人說如果不單調可導，定義域會變小，真的很令人費解！
2樓：alphacalculus
同濟高數寫的很清楚.
適當地選擇變數代換 ，將積分 化為積分 ，公式成立的條件是，右邊的不定積分要存在，即 有原函式；其次， 求出後必須用 的反函式 代回去，為了保證反函式存在，直接函式 必須單調，因為只有單射或一一對映才具有反函式，證明過程還指出 必須可導且導數不為0，
設 的原函式為 ，因為 單調可導，則 ，記 ，則根據復合函式的求導法則，
因為 是存在的，因此要求 .所以有
3樓：
因為如果 不是單射的話，嘗試去定義 會發現這可能根本就不是個測度。
所以說你考慮積分 的時候很麻煩，因為函式一般只能定義拉回，測度一般只能定義推出，這兩個是對偶的，就像向量場和微分形式一樣。所以說你乾脆假設變換是雙射得了。
別聽 @YorkYoung 瞎說。有帶符號的測度的。
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