1樓：Jameson
關於換元法原理的完整版回答見下面這個，本回答是之前寫的，主要針對「區別」
大一，理解不了高數第一類第二類換元法，是不理解原理，有大神解答一下嗎？
下面僅以不定積分舉例，定積分只不過是多了換上下限的步驟而已
第一類換元法是將被積函式f(x)恒等變形成f(g(x))*g'(x)，然後
∫ f(x) dx=∫ f(g(x))*g'(x) dx=∫ f(g(x)) d(g(x))=F(g(x))+C
比如：∫ f(x) dx=∫ 2cos2x dx=∫ cos(2x)*(2x)' dx=∫ cos(2x) d(2x)=sin(2x)+C
可以看到，從頭到尾自變數都是x，因此沒什麼其他的條件需要顧慮，關鍵在於能拆出f(g(x))和g'(x)，或者說更多的時候是湊出f(g(x))和g'(x)，比如上面這個例子去掉2這個係數後，要湊個2出來：
∫ f(x) dx=∫ cos2x dx=∫ 1/2*2*cos2x dx=1/2*∫ cos(2x)*(2x)' dx=1/2*∫ cos(2x) d(2x)=1/2*sin(2x)+C
第二類換元法就不一樣了，是將x視作t的內層函式x=g(t)，代入外層函式f(x)形成復合函式f(x)=f(g(t))，然後
∫ f(x) dx=∫ f(g(t)) d(g(t))=∫ f(g(t))*g'(t) dt=F(g(t))+C，F(g(t))是關於t的表示式
可以發現上面式子是將f(x)視作關於t的復合函式，逆用第一類換元法中的「∫ f(g(x))*g'(x) dx=∫ f(g(x)) d(g(x))」
最後將反函式t=g^(-1)(x)代入得F(g(t))=F(x)
舉個比較明顯的例子說明一下：
f(x)=cos(1/2*x)，設x=2t，則t=1/2*x，因此
∫ f(x) dx=∫ cost d(2t)=∫ 2cost dt=2∫ cost dt=2sint+C=2sin(1/2*x)+C
可以看到，自變數是先從x變成t，求出原函式，最後再用反函式將從t變成x，所以第二類換元法需要考慮反函式的存在性和可導性，因此第二類換元法要求：換元函式x=g(t)可導且g'(t)≠0
不過g'(t)≠0這個條件不是那麼嚴格，僅在端點處有g'(t)≠0並不影響最終的結果，詳見
Jameson：三、2.不定積分及定積分換元法在使用時可能出現的幾個問題及解答
2樓：愛知求真王老師
不嚴密的說法，第一類換元法是湊，第二類換元是拆，目的都是通過置換，便於計算。
建議多看多做多理解幾道典型問題，所謂第一類第二類本質都是一樣的。
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