1樓：香樟還在
設V1和V2是V的兩個子空間，n(V)表示V的維數，則有公式n(V1)+n(V2)=n(V)-n(V1∩V2)，如果這兩個子空間之交的維數等於0，即n(V1∩V2)=0，有n(V1)+n(V2)=n(V)，就是說子空間的維數之和等於V的維數，這樣的子空間之和就是直和。例如三維歐式空間V中，取過原點的一直線記為V1，再取過原點且垂直於該直線的平面記為V2，則V1和V2的和即為直和，結果就等於V。
2樓：
和：存在；直：唯一（漢語博大精深，直可以理解為就這一條道，別繞彎子，兩點間線有無數，但直線只有一條，這個直也有簡單的意思，後面講）
用W=U V 表示
對W中向量w一定存在向量U中向量u與V中向量v和為該向量，且u在U中唯一，v在V中唯一
用基的語言：U的基和V的基簡單組合在一起，就是W的基(不僅彼此線性無關，而且W的所有向量都能被U的基和V的基表示)，我估計因為只是把兩邊基放在一起就能組成新空間的基，太簡單明瞭直觀了，所以成為"直"和
3樓：費曼等等我
最近在思考這個問題，看到杜崑泰兄提的直和是一種「分治」思想，深以為然。個人感覺直和的概念特別像等價關係對集合的分類:
(1)每個類非空
(2)每個類互不相交
(3)所有類的並是全集
直和的話是各個子空間的交僅為0向量，並且所有子空間的和為全空間，而且任何乙個元素都可以唯一的分解為子空間元素的和。從這個角度來看，直和是確定了一種唯一的分解，有了這種分解就可以「分治」。比如要在乙個全空間解決乙個問題，但是很難，而在子空間上解決比較容易，因而可以將問題分解為在各個子空間上解決，然後再加起來。
這樣子就有化繁為簡的效果。PS 最近還痴迷對偶空間和對偶原理。熟悉乙個概念以及提出這個概念的目的後，常常會被其後解決問題的智慧型而折服，數學還是靠了直覺，只是表述的時候變得特別嚴謹~~~
4樓：
子空間的和對應集合中的並集
子空間的直和對應集合中的不交並
子空間的0對應集合中的空集
向量空間中直和與和的區別正如集合中並集和不交並的區別這樣好理解了點嗎
5樓：GaoShanze
你的理解是對的。這個定義的意義可以這樣看，二維平面上，x軸是乙個一維線性子空間，y軸是另乙個一維線性子空間，平面上所有向量都是這兩個子空間中各取乙個向量由通過向量加法得到，並且這種表示方式是唯一的。
6樓：瑩子
和比直和一般，也就更靈活，而直和是特殊的和。和更加一般，不用考慮相加是什麼，相交是什麼，或者說它允許所有這些可能的情況。而把這些情況中非常特殊的乙個情況單獨拿出來定義成直和。
因為直和是平行四邊形分解的推廣，給出直和以後向量的分解就存在且唯一了。因為存在性和唯一性而產生的直和的定義。比如兩個子空間的直和，相加等於整個空間對應了存在性，而相交為0對應了唯一性。
a往x軸和y軸的投影就是a的分解，因為x+y是整個平面，x交y等於0，所以平面上任意向量的分解都存在且唯一。
直和對應的投影P1,P2
I=P1+P2
a=Ia=(P1+P2)a=P1a+P2a=ax+ay這就是平行四邊形分解，它的推廣，直和的子空間不一定是一維的，而且也可以是多好空間的直和。從直和引出的投影是值得考慮的內容。
線性代數中的張成空間（span）和線性子空間（subspace）有啥區別？
Alepha E 個人理解，差別在於表達上。從動態的角度來看，舉個例子 子空間 森林裡的一片小樹林 張成空間 森林裡由幾顆小樹苗長成的小樹林。張成空間便於描述 擴張 的過程。當你做一些以子空間維度進行的歸納法 induction 時，就能感受到兩者在表達上的差別。記得像泛函裡的hahn banach...
數學上經常說 線性代數 線性空間 ，到底何為線性？為什麼在諸多概念中反覆強調？
荀令留香 設V是非空集合，它的元素稱為向量，F是乙個數域，它的元素稱為純量。在V中分別定義向量的加法，純量與向量的乘法。當滿足 A1 加法結合律 A2 加法交換律 A3 具有零向量 A4 具有負向量 M1 M2 1 D1 乘法對向量加法分配率 D2 乘法對純量加法分配率 則稱集合V為數域F上的線性空...
線性代數在現實中的用途有什麼？
TroubleShooter 線性代數這門課始終都在圍繞著乙個概念展開 矩陣。矩陣是什麼，為什麼要研究矩陣？其實它可以看做有兩種用途 資料的表示，變換。資料表示 比如Ax By C這乙個方程 等式 該方程可以看做是x與y的限制關係。多個方程放在一起，就可以看做有多個限制關係，最終可以求出x與y。把這...