1樓：荀令留香
設V是非空集合，它的元素稱為向量，F是乙個數域，它的元素稱為純量。在V中分別定義向量的加法，純量與向量的乘法。當滿足：
（A1）加法結合律；（A2）加法交換律；（A3）具有零向量；（A4）具有負向量；（M1）λ（μα）=（λμ）α；（M2）1·α=α；（D1）乘法對向量加法分配率；（D2）乘法對純量加法分配率 ；
則稱集合V為數域F上的線性空間。
定義中最體現「線性」一詞的是最後兩條。直觀上理解「線性」一詞，就是直線，也就是一次函式，變數不進行任何自乘運算，變數間也不進行變數乘運算，進行代數運算時其實只要對係數進行運算，這種情形是簡單的。如果將純量視作權重，我們進行的運算都是向量加權加法，也就只需要對各自權重計算，分配率，分配的也就是權重。
如果從另乙個角度來看，由於定義為向量或定義為純量的量本質都只是集合的元素而非真的向量標量。定義的加乘運算也都只是簡單的對映。線性函式滿足f（λα+μβ）=λf（α）+μf（β），這意味著進行複雜量的對映時，運算順序不再重要，因為這是保加且保乘的。
2樓：larry
被反覆強調的原因真的是因為簡單，而且已經被研究得很透徹。
另外，線性都是「成比例」的意思但是感覺在不同的領域意義不同。在代數領域（包括線性代數），線性大概就是自變數和因變數「成比例」的意思。在微分方程領域，表示的是狀態變數的導數和狀態變數「成比例」。
但是表現出來的性質完全不同，所以研究的內容也不同。
3樓：劉添億
線性意味著只允許乘係數和加減。不允許變數之間相乘，也不允許三角函式之類的變換。
線性問題的好處是各處具有相同的特性，系統特性與變數的取值無關，容易分析。
對於包含變數間乘法，包含三角函式等非線性運算的系統，可以通過偏導數、微分，在區域性建立近似的線性系統，用線性系統的手段分析。但是這些分析的結果只是非線性系統區域性的特性，在非線性系統的其餘部分，特性可能不同。
4樓：南中國海的一條魚
「線性」就是「直線」特性，也就是一次。
一次函式的圖象就是直線，任何二元一次方程，只要不出現 ，都是平面直角座標系的一條直線。
於是這一概念就被推廣到多元（多個變數）的情形了，如果乙個多項式次數為1，則稱這個多項式是線性多項式。如果乙個方程中各項次數均小於等於1，那麼這就是線性方程。
線性代數研究的就是線性多項式和線性方程。
引申：線性的概念可擴充套件到函式、向量、矩陣等數學模型（暫且稱它們為數學模型吧）上，把一次多項式中的變數換成函式、向量、矩陣等，即得到函式、向量、矩陣等的線性組合。
5樓：王贇 Maigo
謝 @機器熊 邀。我來說一點兒我的感覺吧。
首先，「線性」這個詞既可以用來形容「名詞」，即「線性空間」，也可以用來形容「動詞」，即「線性變換」。
先說線性空間。線性空間，就是裝備了加法、數乘兩種運算，並滿足下面 8 條公理的集合：
線性空間為什麼重要呢？一是因為它十分常見：數學研究與應用中遇到的很多集合，在其上定義的加法和數乘都滿足這些公理；二是因為這些公理讓線性空間具有了與 R^n 同構的「平直」的結構，這種結構是最簡單、最容易研究的。
可能有很多人覺得線性空間的 8 條公理是理所當然的，看不出它們的重要性。那麼，我們可以看一看不是線性空間的集合是什麼樣的。乙個很好的例子是角度。
角度的加法，可以定義為普通的加法再對 360 度取模，這樣 [0, 360) 這些度數的角構成交換群。但是，角度與實數之間的數乘，定義時就會遇到困難：90 度與 1/2 相乘是多少呢？
是 45 度還是 225 度？線性空間的第 5 條公理是 a(bv) = (ab)v。取 a = 1/2，b = 2，則有 1/2 * (2 * v) = v。
不管定義 90 度與 1/2 相乘是 45 度還是 225 度，這個式子都不可能在 v 取 45 度和 225 度時都成立，所以角度不構成線性空間。這種不「平直」的空間，研究起來就複雜得多了。
再說線性變換。線性變換是滿足疊加性 f(x + y) = f(x) + f(y) 和齊次性 f(ax) = af(x) 的函式。這兩條性質可以合起來寫成 f(ax + by) = af(x) + bf(y)。
同樣地，線性變換之所以重要，乙個原因就是因為它在研究和應用中非常常見。但它為什麼常見呢？原來，疊加性允許我們把輸入拆分，分別研究它們在變換下的輸出再疊加起來；而齊次性則說明變換有一分輸入就有一分輸出，變換的規律不隨輸入的大小而改變。
這兩個性質，就像線性空間的 8 條公理一樣，顯得「理所當然」。
有了疊加性和齊次性，我們就可以把輸入拆分成若干個「基本輸入」的線性組合，分別研究它們的輸出了。什麼樣的輸入最「基本」呢？答案是變換的特徵向量，它們在變換下只是進行了放縮而已，並沒有改變面貌。
由此就發展出了強大的「譜分析法」，即把輸入拆分成特徵向量的線性組合，分別計算輸出然後疊加。有些線性變換的效果看起來很神秘，但譜分析法能夠直搗黃龍，擊中要害；有了譜分析法，線性變換就成了最容易研究的一種變換了，這種容易自然也讓線性變換成為入門時的學習重點。
更新：最初寫答案時，我只考慮了線性空間定義在實數域上的情況。線性空間也可以定義在其它域上，其中有些情況還會很好玩。
不過，從實用的角度來看，還是定義在實數域上的情況最常用。
6樓：Yuhang Liu
導數就是線性化——區域性用線性函式逼近非線性函式。整套微積分就是線性化。用弧長微元近似代替曲線來求長度，這就是用線性物件來逼近非線性物件。
矩形面積=長＊寬，雙線性運算；用小矩形面積求和取極限求取曲邊形面積，這就是線性化。數學家在具體運算方面的大部分工作就是把非線性物件線性化，比如更高階的，非線性偏微分方程的線性化。線性不是什麼數學家憑空造出的概念，他就是人類的本能思維，只不過數學家把這種粗糙的想法系統化抽象化而已。
7樓：
「如果進入科研領域，你就會發現，只要不是線性的東西，我們基本都不會！它是人類少數可以研究得非常透徹的數學基礎性框架。學好線性代數，你就掌握了絕大多數可解問題的鑰匙。
有了這把鑰匙，再加上相應的知識補充，你就可以求解相應的問題。不學線性代數，你就漏過了 95% 的人類智慧型！非線性的問題極為困難。
如果能夠把非線性的問題化為線性的，這是我們一定要走的方向。」，萬門大學校長童哲如是說。
8樓：小明
從幾何觀點中引渡而來，在平面直角座標系中的乙個二元一次方程是一條直線，再加以推廣，就有了線性一詞。其實數學定義中有更多定義是相互引渡來的。
9樓：
其實那麼多線性為定語的詞和線性空間有分不開的關係。
從定義上來看，線性空間（也稱向量空間vector space，也稱線性向量空間linear vector space，都是乙個東西）是需要符合除了加法與數乘封閉性外+八條基本性質的空間（就是乙個集合，既可以有有限的元素，也可以有無限個元素）。見https://zh.
wikipedia.org/wiki/向量空間 。
1） 「線性」 空間的線性一詞，指的是加法和數乘（被稱作線性運算）的封閉性：
3）值得注意的是線性空間中元素（向量），既可以是我們常見的實數組成的向量，也可以是其他，比如乙個函式（即乙個函式就是乙個向量），只要它所在的集合滿足加法和數乘的封閉性和八條基本性質，即這個函式所在的集合是乙個線性空間。
1）比如說有個概念叫做線性子空間（linear subspace），就是想說這個子空間（上述定義的線性空間的子集）對加法和數乘封閉。
2）再比如說線性方程組，說這個方程組是只包含線性運算。
3）再比如說線性運算元（linear operator）。說明這個運算元L，有這樣的性質，L（ax+by）=a*L(x)+b*L(y)，其中a和b是數，x和y是向量。即說明這個運算元對於線性組合有如此可以拆解為L(x)和L(y)的線性組合的性質。
為什麼「線性」重要？
說白了還是因為線性簡單，易於建模與分析。而且單單線性的參與就可以匯出很多理論。
1）比如矩陣論。說白了就是有關線性運算的東西的一系列性質。
2）張量分析。上述的推廣。
3）傅利葉變換。傅利葉變換的正弦函式（或者復正弦函式）乘以原函式積分，本質上是對原函式實施了乙個線性運算元。
4）比如凸優化理論，其本質是建立在分離定律上的，即兩個不交叉的凸集是線性可分的。
10樓：
定義了加法和數乘且滿足八條公理的集合稱為線性空間。
保持加法和數乘的對映稱為線性變換。
這倆是啥？
是現實問題的抽象啊，是古典代數的核心問題線性方程組問題的直接抽象啊。抽象後，凡是線性問題不就都能用這套理論來搞了嘛。
為啥老強調線性啊？
你以為別人想啊，還不是因為現實世界充滿非線性，可是非線性問題大多又不知道怎麼搞嘛，線性化後可不就簡單能搞了嘛。
11樓：麥大麥
在n維空間中，存在n個基向量。任何乙個其他向量都可以被n向量線性表達。。。這是數學構造出來的模型吧，因為線性運算更簡單，而且可以描述多維空間。非線性空間，太複雜了。
12樓：莊漁
在自動控制原理中，滿足疊加原理的系統就是線性系統。
線性之所以重要是因為它簡單，如果乙個系統是線性的，那麼無論這個系統看起來結構多麼複雜，它都可以用一套既定的方法去分析或模擬。
雖然在現實中，絕大多數系統並不是線性的，但是我們可以通過很多手段把非線性的系統近似成乙個線性的系統，或分割成多個線性的系統（但是這些線性系統只在某個定義域內有效），然後採用分析線性系統的方法解決它們。
總之，我們關注線性，是為了更好的分析實際的複雜問題。
13樓：
如果剛開始學線性代數，沒有必要搞的太複雜，只需要知道下面這句話就行了：
The central problem of linear algebra is to solve a system of equations.Those equations are linear,which means that the unknowns are only multiplied by numbers -we never see x times y.
翻譯：線性代數的核心問題是解一組等式（或方程）。這組等式是線性的，意味著未知數的係數只能是數字（我們永遠不會見到xy).
翻譯的不好，看英文更好理解。
來自《Introduction to Linear Algebra, 4th Edition by Gilbert Strang 》第二章，P31.
線性代數中的張成空間（span）和線性子空間（subspace）有啥區別？
Alepha E 個人理解，差別在於表達上。從動態的角度來看，舉個例子 子空間 森林裡的一片小樹林 張成空間 森林裡由幾顆小樹苗長成的小樹林。張成空間便於描述 擴張 的過程。當你做一些以子空間維度進行的歸納法 induction 時，就能感受到兩者在表達上的差別。記得像泛函裡的hahn banach...
2022考研數學線性代數跟哪位老師？
剛當當啊 推薦主李永樂，輔張宇，張宇2012現代講的很透徹，建議吃透李永樂的強化班然後看，2012張宇，直接B站搜尋。本人21考生人，數學二估分142，線代對答案沒發現錯誤。 希林 我先是聽的湯家鳳的零基礎記好筆記，湯的零基礎課有助於你很好的理解一些抽象的概念 然後買了本 線性代數輔導講義 直接上李...
數學系線性代數或者高等代數該怎麼教？
希爾 我覺得用ppt一定是失敗的，用黑板雖然麻煩，但是有思考的過程。數學就是不斷探索的過程。丘維聲的講的高代課就很好，並不是因為他講的內容有多高，而是水道渠成的去講課。做學問就是像一泉水在那裡流，他把水的感覺講了出來，聽他講課就是一種藝術。 夏偉航 不請自來，某校數學系大一學渣一枚。我個人仔細看了一...