1樓：
題主應該是想理解這個式子是怎麼來的, 這些方法怎麼來的, 為什麼會有個t 等等. 本人智商普通, 我寫的保證高中生也能看懂. 下面是我的筆記:
對於這個式子要怎麼理解? t 是什麼? f(t)dt 是什麼? g(x) 表示什麼?
首先我們要理解 表示什麼. 表示的是後面的表示式的自變數的積分範圍是 (0,x)
也就是說, u(t) = f(t)dt 中 t 的取值範圍在 (0,x)
那麼 f(t)dt 又表示什麼呢? 為什麼不是 f(x)dx ?
顯然, dt 是乙個無窮小量, f(t) 表示 t 處的函式值, f(t)dt 因此表示 t 處影象的面積.
我們看到 dt 其實就是 (0,x) 上極其微小的一段, t 就是 (0,x) 上的乙個值, 我們完全可以叫它 x_0
而積分就是這樣的一堆面積的疊加.
所以, 其實就是表示: 讓 t 或者說 遍歷 (0,x) 上的每個位置, 分別乘以對應的函式值 f(t) 或者說 然後把這些小長方形加起來.
每當 x 變化, 就對應乙個面積.所以就是表示f(x)在(0,x)與x
例子:現在, 我們就知道, 這個式子表示 在 和 x 軸圍成的面積(實際上是發散的), 也即:
我們知道, 就是表示f(x)在(0,x)與x軸圍成的面積, 對 f(x) 求導就是求 , 所以對 求導, 就是求 f(x) 在 (0,x) 與 x 軸圍成的面積的微分 與 dx 的比
我們令 又有:
而 , 帶入
得到 兩邊除以 dx , 得到 , 而根據 F(x) 的定義(即: ), 可知 , 所以對 求導, 就是對 求導, 結果就是
例子: 求導
答: (就是把 t 換成了 x )
例子: 求導
答:例子: 求
答: 是不是很簡單?
我們都知道 的導數就是
現在如果把上面的 x 換成復合函式u,也即 , 這個時候求導就用復合函式求導法則就行, 推導細節如下
帶入 則
而 帶入得到
書上一般會給這樣的形式
他的名字叫做積分符號內取微分 (Leibniz integral rule，萊布尼茨積分法則)只要知道它是復合函式求導這一本質, 記憶起來也就沒有任何難度了. 實際上如果你把上下限直接帶到 dt 的t 裡面, 自然就會得到這個結果,根本不需要記憶該公式.
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