1樓：雷死卡卡
乙個測度對應乙個積分。積分應該理解成函式空間上的正線性函式(Riesz representation theorem)，算乙個函式的積分就是看這個線性函式在這個函式的取值。要involve群結構，就是說這個正線性函式可以descent到函式空間商調這個群作用。
Haar's theorem說這樣的正線性函式的集合商掉正實數是唯一的：
光滑函式空間的正線性函式給出的乙個測度可以對連續函式做積分，李群上Haar measure實際上不仰賴於微分結構，僅僅仰賴於拓撲群結構。
2樓：C.Jie
在乙個不太壞的拓撲空間上做積分，想法就和在一般的R^n裡做積分類似，不太嚴格地講，積分就是先把積分區域X切成乙個個很小的片Δx,然後再把這樣的fΔx全都加起來，∑fΔx最後取極限(當然極限要存在，要滿足一系列的條件)寫成∫fdx的形式。
嚴格化就是先得定義出乙個與積分相配的測度μ！在乙個一般的區域性緊豪斯托夫空間X上做積分對應的想法也是類似。根據Riesz表示定理，對於X上的緊支集函式f的集合C_c(X)以及上面的乙個正線性泛函μ，都可以在X的乙個σ代數上找到乙個正測度m使得μ(f)=∫fdm。
當考慮的拓撲群是區域性緊豪斯托夫時，會存在乙個不為0的左不變的Haar測度μ，在相差乙個正實數的意義上，這個測度是唯一的！這樣子在李群上的緊支集函式f的積分就可以寫成∫_G f(x)dμ(x)，比如(R^n,+)這個區域性緊李群上的Harr積分就是對應的Lebesgue積分，μ(f)=∫_R^n f(x)dx！
而李群相比有限群是連續群，限制要強得多，它具有乙個與群結構相容的微分結構，使之成為乙個微分流形，所以在李群上構造積分測度相比一般的微分流形會具有一些差別！一般對於乙個n維的可定向的光滑流形，選定好乙個定向後，在乙個區域性座標下，積分測度一般定義為dVOL=dx^1∧…dx^n，然後再用乙個單位剖分黏起來就可以得到乙個全域性的積分測度！
而李群的切叢可以平行化，從而就直接是可定向的，由於李群相比一般的光滑流形有群結構，所以夠造出的體積形式還要考慮李群上的左(右)平移下要不變，這樣子相比在一般的流形上選用dVOL=dx^1∧…dx^n作為體積形式，還要加上左(右)平移下不變這個限制。
這個對於緊李群是比較好構造的，直接在李群G的李代數g上挑選一組單位正交基X1,…，Xn,它們會有對應的左(右)不變向量場，然後挑選出它們的對偶向量ω^1…，ω^n,對應ω^1…，ω^n就是一組對應的左(右)不變的1-形式，然後體積形式dVOLg就可以定義成ω^1∧…∧ω^n了！在區域性座標下對李群上的緊支集函式f做積分，就可以寫成∫f.dVOLg。
3樓：東雲正樹
雖然魯魯修老師已經講的很清楚了, 但我還是想隨手補充乙個比較降級的嘮叨版本.
李群積分的關鍵就是找到所謂的哈爾測度, 可以簡單理解為流形上的積分體積元. 這個哈爾測度的關鍵特徵就是具有群左右作用不變性, 對緊李群來說一般在這個左右作用不變性的限制條件下找到的哈爾測度是唯一的.
哈爾測度的性質不難理解, 但找起來也不簡單, 我前面看過一篇巨詳細的講述么正群、正交群與辛群的哈爾測度的文章[1], 處理的老複雜了, 文章哪兒都好, 就是看不太懂.
就是 arXiv:math-ph/0402073v1 26 Feb 2004, 我估計這就是對這個問題的完美解答了罷, 對技術細節感興趣的話可以看看.
李群的基本概念見: 東雲正樹：群論(Group Theory)終極速成 / 李群(Lie group)的定義與常見李群
才剛寫完的: 東雲正樹：群論(Group Theory)終極速成 / SU(2) 的全體不可約表示與李群上的積分
引入積分的切入點:
還記得表示理論下的正交性與完備性嗎? 連續群的情況, 我們的求和就要改成積分[2].
實際上李群作為乙個流形, 理論上來說你就是可以直接擱上邊兒瞎積分.
┣ 維李群上的積分無非就是對應乙個 重積分嘛.
┣ 但我們這裡是群論, 重要的終究還是群結構, 所以不能這樣瞎積分.
┗ 所以我們接下來的目的就是尋找乙個尊重群結構的恰當積分形式.
群函式全範圍求和具有左右作用不變性[3]:
即對 有 .
那連續群當然也要類似地有. ┣ 進一步有.
┗ 故歸結為要求 , 此限制即李群積分的關鍵[4].
維李群上的積分本質就是關於群元引數的 重積分:
所以具體計算要做改寫 , 其中 為引數向量.
其中 稱為哈爾測度[5](Haar measure), 而 稱為權重(weight).
┣ 故對確定的李群想給出合適的積分形式的話只需確定 或 即可.
┣ 具體而言是通過兩個條件來確定, 歸一化條件: ,
┗ 與左右作用不變性條件: for .
對類函式[6]我們可以先積掉那些不同的類所共享的參量, 因為反正類函式不依賴於它們.
表示理論下的正交性:
設緊李群 的全體不可約么正表示為 , 可以寫出正交完備關係:
我知道這幾個正交完備公式很難記住, 但狄拉克符號的版本應該會寫吧:
┣ (1). .
┣ (2). .
┣ (3). .
┣ (4). .
┣ 帶係數的那個記不得還算是無可厚非, 要上面這些都寫不出來可就白學了.
┗ 最後記得我們的表象是群元表象 .
在李群裡就是下面這樣兒的:
┣ (1). .
┗ (3). . 以前離散群的係數裡還有 和 對吧? ┣ 類數 是對類求和造成的, 如果是對群元求和(積分)就可以不用寫了.
┣ 而 作為歸一化係數在李群的情況被吸收到哈爾測度 裡了.
┗ 係數 沒被吸收是因為這個是依賴於表示的, 而不是群本身歸一化該考慮的.
至於說這個 (2) 和 (4), 其實應該很難形式上地表達出來, 因為其中的係數依賴於哈爾測度.
┣ 但總的來說呢, 還是會滿足一些符合直覺的關係,
┣ 比如說特徵標吧就滿足 .
┗ 具體例子可以看 [此文] 後面複線性表示特徵標完備性證明那部分. 如前文所言, 我們第一步就是要找到 對應的哈爾測度.
對應的哈爾測度是 的微元:
歸一化條件先不用管, 這無非就是乘個係數的事, 重點是左右作用不變這個限制.
以左作用為例, 對 的左作用本質就是 對 的幾何作用.
┗ 所以就是要找到關於 幾何作用不變的 上的積分微元就好了.
幾何作用不變的意思就是說這個流形被作用完形狀不能改變, 即等距作用(參考[附錄]).
┣ 已知 本質上是 么正陣, 對復二維線性空間的作用是等距的.
┣ 其中二維線性空間我們寫作 .
┣ 三維球面 是 的子集.
┗ 故顯然 對 的作用也等距, 就可用三維球面的天然微元來充當 .
總之就是說, 若你選擇了三維球面的天然微元作為測度或者說積分微元, 並將對整個 的積分改寫為對整個三維球面的積分的話, 則這個積分的測度或者說積分微元將在 的左右作用下仍能保持積分值不變. 這是因為等距作用無非就是"旋轉"了三維球面, 我們終究還是要對整個球面進行積分, 所以最後的積分結果不會發生改變.
半徑為 的三維球面
其天然微元: .
其中 .
單位球面的測度即 .
由此可以計算單位球面的面積 .
引數形式的 積分:
前面的歸一化係數是由單位球面的面積 確定的.
對類函式進行的 積分:
任意類函式 均滿足 [7]就只是 的函式.
所以積分可以把其它參量先積掉, 即:
┗ . 等距作用又被稱為等距對映或等距同構, 幾何上稱為全等變換, 其定義是基於"距離"這個概念的.
任意集合 上的距離都由距離函式給出:
定義的距離函式 對 都要滿足下面三個條件:
┣ (1). , 即距離非負且僅與自己的距離為零.
┣ (2). .
┗ (3). , 即老生常談的三角不等式.
距離函式又被稱為度量, 存在度量的集合稱為度量空間.
┣ 線性空間中可定義範數, 範數是向量的長度, 或可認為是向量到零元的距離.
┣ 然後我們可以將倆向量之間的距離可以定義為倆向量做差得到的向量的範數.
┣ 所以範數的定義和距離的定義是大同小異的, 硬要說就是多乙個線性性.
┣ 線性性即對向量與數的乘積求範數等於該數的絕對值與該向量範數的乘積.
┗ 定義了範數的線性空間稱為賦範空間, 完備的賦範空間稱作巴拿赫空間[8].
所以賦範空間本身就是一種度量空間, 可以用範數誘導出距離.
┣ 然後實際上線性空間的內積, 是可以誘導出範數的.
┗ 因為我們可以將範數定義為與向量與自己的內積的平方根.
所以綜上所述, 復內積空間也是一種度量空間, 只要用內積誘導範數, 範數誘導距離就好了.
等距作用的定義:
等距對映 即對 均滿足 的對映.
┣ 而等距作用就是等距對映的小名, 就是能保證元素之間的距離不會發生改變的作用,
┗ 即形狀不發生改變, 類似剛體的平移和旋轉, 所以等距作用在幾何上也被稱為全等變換.
對復二維線性空間 的作用等距的原因:
由定義知 均滿足 .
┣ 故對 有 , 說明此作用保內積.
┗ 而若距離由範數誘導範數由內積誘導, 則對 而言 作用就是乙個等距作用.
這也是為什麼量子力學中滿足 的算符被稱為等距算符.
4樓：史詩生物
1. 由定義知，李群是具有群結構的微分流形。既然是乙個微分流形，給定任何一李群，我們完全可以不負責任地無視其群結構，自定義乙個隨便乙個處處非零的 top-form （因為任何乙個李群都是可定向的，來自其切叢的可平行化），然後做流形上函式的積分，比如
2. 但作為乙個負責任的人，我們應當考慮到群結構的感受，並為之配備乙個合適的 top-form。一種常見做法是先定義乙個 上的 bi-invariant metric ，要求它滿足 。
要構造這樣的乙個 ，我們可以先在單位元切空間 處放乙個 -invariant inner product ，然後用 或者 推廣到整個 上。
有了這樣的 ，就可以定義相應的適配體元，並對函式積分了。
3. 如果被積分函式是類函式，則利用體元和被積函式共享的 -invariance，可以把 積分約化為Cartan torus 上的積分，代價是在積分函式中新增 -軌道的體積。
以 為例。我們知道這個幾何對應是由
產生的。特別地， 對群元 的左作用也可以視同為 對列向量 的轉動作用。後者作為 上的保厄公尺度規轉動，自然地誘導出 的等距（ 從 直接繼承度規，即標準 round sphere metric）作用，因此 round sphere metric 就是左不變的。
類似地可以看到這個度規是右不變的，因此實際上 的標準度規正是 的雙不變度規，而與之適配的體積元可以在球極座標中寫下來，
便得到或者在作類函式積分時把 軌道 積分掉，得到
如何理解 李群 李代數的初衷就是求解微分方程 ？
Fuka Reventon 不說初衷，特殊正交群表示之所以在量子力學裡面可以給出原子能級也是因為特殊正交群的不可約表示恰好就是對給定的譜，對應的擾動後的拉普拉斯方程的解，或者說，拉普拉斯運算元的點譜。換句話說，微分方程從一開始就隱藏在李群李代數的表示的背景裡面。 有一天在圖書館看書時，無意在書架上翻...
如何徹底理解變限積分的含義？
題主應該是想理解這個式子是怎麼來的,這些方法怎麼來的,為什麼會有個t 等等.本人智商普通,我寫的保證高中生也能看懂.下面是我的筆記 對於這個式子要怎麼理解?t 是什麼?f t dt 是什麼?g x 表示什麼?首先我們要理解 表示什麼.表示的是後面的表示式的自變數的積分範圍是 0,x 也就是說,u t...
如何理解微積分中的喇叭悖論？
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