1樓：tetradecane
題主的理解有點偏差。
區間 的長度記為 .
根據語境推測，題目描述中的 ，定積分可以表示為 ，因此 這種表述是沒有意義的。
定積分的圖示：
定積分的圖示
定積分的定義中，要求 ，也就是要求切成的無數段中的最長一段也要趨於0. 假設不要求 ，只要求 ，我舉乙個反例：
設函式 ，計算其定積分 ，這是正確值。
如果我取第一段 ，其餘 段都為 ，則各個分點為
那麼則 就不是定積分了。
究其原因，是因為 並不趨向於0，在區間 上用面積 近似三角形面積 的誤差不是無窮小，如下圖中紅色部分所示。
本例的圖：
本例的圖
注意到 ，這裡 就是圖中右上方藍色鋸齒狀小三角形的面積之和，在 時它們的面積之和 .
2樓：龔漫奇
下面來談問題的實質。問題的實質是怎樣來理解定積分的定義。為了排除支節問題，我們把定積分∫[a→b]f(x)dx看做是曲邊梯形(由x=a,x=b,x軸,y=f(x)所圍,f(x)≥0,可以不連續)的面積。
定積分的定義是說：把區間[a,b]分成n個小區間，在每個小區間上取一點yi計算它的函式值f(yi)，那麼以這個函式值為高，以這個小區間的寬度為寬，那麼這個高乘以寬就是乙個矩形的面積，用這個矩形的面積代替這個小區間上的小曲邊梯形的面積，那麼當這個小區間的寬度趨近於零的時候，這個代替的相對誤差是趨近於零的。所以當所有小區間的寬度都趨近於零時，這些矩形面積的和，與所有小區間上小曲邊梯形面積的和（注意，這些小曲邊梯形面積的和就是所求曲邊梯形的面積）的相對誤差也趨近於零，也就是說，小矩形的面積和就趨近於麴邊梯形的面積。
注意所有小區間的寬度都趨近於零，等價於，最大的那個小區間的寬度趨近於零。而最大的那個小區間的寬度就是希臘字母拉姆達(入)。所以定積分的定義，是入→0（即所有小區間的寬度都趨近於零），而不是小區間的個數n→∞。
因為我們可以讓小區間的個數n→∞，但是第乙個小區間永遠是佔區間[a,b]的一半寬寬度。
3樓：予一人
原因其實幾句話就可以說清楚了。
僅僅 無法保證讓分割後的每個區間任意地小。比如，你可以先將整個積分區間二等分，然後把左半區間死守著不放，把右半區間無限地加細，這樣也能保證 但是，so what？
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