1樓：zzzz
最近在學計量的時候遇到了這個問題，覺得大多回答過於高深，特別是關於用樣本方差估計總體反差這個例子（如下）
這裡的疑惑很明顯，我還沒有取最後乙個x，怎麼樣本的均值他就固定了呢，真的很莫名其妙，於是有了第二種思路
當然初次看到還是會有些懵逼，結合這個回答會明朗一些，為了方便放了前輩回答的截圖，回答鏈結見下文
摘自（https://www.
2樓：
自由度說白了就是真實未知量的個數。
比如a+b=0. 看上去有兩個未知量實際上a=-b b是可以通過a得到的。本質上只有乙個未知量。所以自由度是1.
其實和矩陣的秩是乙個道理。為什麼有的矩陣不滿秩和為什麼自由度不是n 本質上是乙個問題。
3樓：小鹿孩思婉
我是這麼理解的，假如13579五個數的均值是5，那麼如果我要把數字換了，比如前面四個數我換成了2468，那麼為了保持均值不變，剩下的乙個數就不能自由取值，比如剛剛2468，如果想保持均值不變，那最後乙個數就一定是5，這個5就是確定的，而前面四個數可以任意取值，這裡可以認為這就是自由度
4樓：TengZy
我認為，自由度可以理解為不受約束的程度。類似於樓上所述的解釋線性未知數的觀點。
我們假設有N個觀測值，假入不加任何形式的約束，那麼這N個觀測值可以XJB搞，隨意打哪。
但是，現在新增乙個約束條件，N個觀測值中的某乙個數為100，那麼，接下來可以XJB搞的N的個數就只有N-1個了。
同理，如果約束條件增加，那麼相應地自由度也會對應減少。
但是，約束條件個人覺得應該是確定性條件，否則的話，例如N滿足N＞100，實際上還是有N個數可以XJB搞。
5樓：
最高贊回答的很好，我補充乙個更一般性的結論：
Degree of freedom = 隨機變數的個數。
在隨機變數x1，....，xn，只要某兩個隨機變數能夠構建關係（構建方程組），就能讓它們減少乙個自由度。因為他們有correlation，他們構成的design matrix就不滿秩。
舉個例子，x1^2 + x2=1 就可以減少乙個自由度。因為x1固定，x2也不得不固定。
6樓：Merlin
首先，我們需要確定計算樣本方差（統計量）是為了估計總體方差（總體引數），使用n-1的原因就是為了保證 是 的無偏估計量，即 。通過驗證，可以知道使用n-1時 確實是 的無偏估計(馬後炮)，但是我們也可以從下面這個角度來分析。
在已知 的情況下， 的乙個估計量就是 ，但一般情況下無法知道總體均值 ，因此只能使用樣本均值替代，要使用樣本均值，就必須滿足乙個條件： ，給定n個觀測值，在滿足上述條件的情況下，就只有n-1個觀測值是自由的（可以隨意變化），因此也稱n-1為自由度。這時，就可以使用估計量 來對總體引數 進行無偏估計了。
*從這個意義上說，-1就是為了滿足上述的約束條件*。
另外乙個有關自由度的例子在洪永淼教授的著作《概率論與數理統計》p259頁中有敘述，現摘錄如下：
7樓：企研資料
在統計與計量經濟學中，一旦涉及到方差統計量以及某些檢驗統計量（如t統計量、F統計量、卡方統計量），通常會出現自由度概念。就應用而言，如果只是利用相關公式，那麼自由度及其調整屬於細節問題。但我們一般不願意機械地利用相關公式，而是希望理解其背後的邏輯。
不幸的是，就理解而言，自由度及其調整應該稱得上是乙個「硬核」問題。
很多同學對自由度及其調整感到困惑，而學生時代的兩位作者其實也在這些同學之列。究其原因，主要應歸因於教科書——很遺憾，就我們所翻閱過的本科層次教科書而言，還沒有發現任何一本書曾專門詳細地講解過相關的內容。鑑於此，我們基於自己對這個主題的一些理解，不揣淺陋寫下了一則筆記。
根據我們求學時的經驗，教科書（或者老師）經常在學生們容易明白的地方嘮叨，卻總會在學生們難以明白的地方一帶而過。
當然，這或許屬於記憶偏差，畢竟「在難以明白的地方一帶而過」讓人記憶深刻；我們也可能誤讀了其中的因果關係——可能正是因為嘮叨才讓學生們明白，而不是學生們早已明白。但無論如何，我們在此敢保證，同學們對自由度及其調整感到困惑，而教科書或者老師卻對此吝於回應，的確屬於真實情況。我們希望此則筆記能夠對同學們有所啟發！
網頁鏈結
8樓：塗開心
有些答案太難了原諒我看不懂
我的理解是這樣的
1.總體中每個個體是隨機的總體數量為n ，則自由度為n2.樣本是抽出來的，總體為n 樣本為T 假如樣本量T=10 分別是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 那麼(yt–E(y))^2中 E(y)是確定的，但是yt是變化的可能是1可能是2 ......
當確定了9個最後乙個也就知道了所以自由度為T–1
9樓：趙俊雄
簡單來說：
計算標準差的時候，除了需要n個樣本之外，還需要n個樣本的平均值。
而當已知n個樣本的平均值以後，這n個樣本中，只有n-1個可以隨意自由取值，剩下的最後乙個可以根據n-1個樣本的具體資訊和樣本平均值的資訊來推導或確定下來。
正如有答案所說，自由度，就是自由的維度，已知了樣本平均值，那麼自由的維度就減少乙個，相當於多了乙個限定或者說約束條件
10樓：Laplace
統計學專業的來答一發。關於自由度的解釋上面都很多了。關於計算標準差的時候除以n還是n-1，這個其實是看需要，如果需要的是無偏估計就除以n-1，至於為什麼，這是數學上可以證明的（根據無偏估計的定理可得到）；如果除以的是n，則得到有偏估計；但是：
不是在所有情況下，無偏估計都優於有偏估計。
11樓：顧鵬
有乙個解釋不知道是否能夠幫助你：
如果你只有乙個樣本，跟據非修正的公式，計算方差為0，但是你會相信這個數值嗎？
這兩者的區別在於，你也在對均值進行估算，所以資料中實際n-1個資料是有意義的，剩下乙個只是為了計算均值。
本質上，這是自由度的「簡單」理解。
12樓：
這裡Crash Course Statistics的老師講得很好。因為這是最近的課程，B站還沒有熟肉，就扔乙個原鏈結上來了。
13樓：李耳總
問題1.
自由度是表達統計量的變數維度數。
問題2.
樣本方差是總體方差的無偏統計量時，分子中選樣本均值，因樣本均值占用乙個自由度，分母中取（n-1）
極端情況：樣本量為1，此時樣本方差不能估計總體方差，對應分母為0
14樓：
首先是自由度這個概念，專業的概念已經都解釋了，下面我說一說自己膚淺的理解：
就比如y=x1+x2中x1和x2是可以自由變化的量，會影響總體的值得改變，但是兩者之間互不影響。
在下式中，
Xi之間可以自由變化而互不干擾，你變你的我變我的，井水不犯河水。
而在下式中，
看似有n個Xi還多了乙個 ，好像有n+1個量，實則不然，因為 是Xi的均值，可由他們線性表示，而這n個Xi之間看似互不相干，實則好像確實也這樣，但是由他們所線性組合而成的n個式子之間卻存在這線性相關，即,
即在n個Yi中，可自由變化的只有n-1個，倘若先取前n-1個，那麼最後乙個Yn也就唯一的確定了，只能是-（Yi+Y2+...+Yn-1），而這減的1可視為總和為0的乙個制約關係。也可以結合線性代數的知識視A[X]=Y，而A的矩陣的秩並不為n而是n-1，X經過A變換之後雖然維數仍為n維，但是他喵的竟然降了一秩，其中A的第一行大概如（（n-1）/n 1/n 1/n ...
1/n），第二行大概如（ 1/n （n-1）/n 1/n ... 1/n）依次等等。
舉個例子比如說X1是桃子、X2是梨子，X3是蘋果，而我，也就是Y1有a個桃子，b個梨子，c個蘋果，而你，有2*a個桃子，2*b個梨子，2*c個蘋果。那麼問題來了，我們一共有多少水果？
欸~本來自由量分別是桃子、梨子、蘋果、經過分配這一線性變換之後，就變成了我和你這兩個量，換了乙個基，不過這時候的自由量不再是3而是變成了1了，很僵！為什麼呢？無論我的各水果數量如何變化，你的都是我的兩倍，可以由我線性表示，所以此時若我=a*桃子+b*梨子+c*蘋果，而你=2*我，所以在咱們兩個所組成的資訊中，我就是自由量了，當然你也可算作自由量，這時我=1/2*你。
維基百科上關於自由度的說法是：
數學上，自由度是乙個隨機向量的維度數，也就是乙個向量能被完整描述所需的最少單位向量數
對比自由度的定義就是總的水果是乙個向量，你和我的水果都是單位向量，但是你我之間可以相互表示，所以在描述總水果數時只需你我乙個就夠了，也就是自由度為1，如總=3*我，或總=3/2*你。注意：這裡的a、b、c應當視為整體（a b c）而不是三個單獨的量。
這時候還不理解的同學可能想，欸你有你的水果，我有我的水果，怎麼就不算兩個自由量呢？理由就是，如果你變了，我也得變；反之我變了，你也得變，這不符合自由量中兩者之間互不影響的定義，換句話說，就是咱們所擁有的水果的關係已經被你=2*我這一等式制約了，極端不恰當的說法就是「你的就是我的，我的就是你的」。
話說回來，明白自由度為何為n-1之後，為何服從自由度為n-1的卡方分布，則可以通過矩陣正交變換的知識將Yi等價的變換到n-1個服從正態分佈的Zi的量，另外乙個被變換到0（貌似是。。。）.因而完畢。
主要參考 @yiyuezhuo
15樓：吳浩
「自由自由度」這個詞有些怪誕，但卻可根據下述理由想象。
平均數的 SE依賴於測量值的SD，而SD又反過來依賴於距離平均數的偏差。而偏差之和必須為零，因而它們不能都自由變動。於是和為零的限制消除乙個自由度。
16樓：Array
簡單點說，
自由度=觀測的數目 - 這些觀測中存在必要的聯絡數目
舉例：multiple linear regression的自由度 = n（觀測數目）- k （predictors，理解為relations的數目）- 1（intercept也是一種relation）
17樓：Jacob
答主資質有限，僅供參考。
乙個隨機變數的方差描述它的離散程度,理論上應該是n個隨機變數對均值離散程度的平均值.
其中我們本來按照定義,要用樣本值減去總體均值刻度第i個樣本的離散程度.但是由於總體均值並不可知,所以只能用其估計值代替,認為就是總體均值.
因此,在這裡就不是乙個隨機變數.我們知道的無偏估計應該是,
這時候,當x1,x2,...,xn1抽樣確定下來時,xn,為了滿足上式,實際上也確定了下來:
所以xn在觀測前就確定了下來.所以在這裡,我們雖然希望得到隨機變數的方差,但是在樣本量為n的抽樣中我們只得到了n 1的隨機變數,最後乙個變數則是確定的.這時候我們稱有n 1個自由變動的隨機變數,也就是自由度:
the number of degrees of
freedom is the number of values in the final calculation of a statistic that
are free to vary.(wikipedia)
根據定義,方差計算的是隨機變數的離散程度(用離差平方和測量)的均值,實際上有n 1個隨機變數.所以樣本方差應該調整為:
對於線性回歸模型
每乙個觀測值i可以列出乙個樣本回歸方程.我們知道，這裡有三個未知引數,三個樣本可以把它們唯一地確定下來.
(1)雖然β是未知引數,而樣本似乎是確定下來計算β的，但是在總體模型中,它卻是確定的,樣本則是隨機的.這種情況下上式的解釋就要掉過頭來,是有3個確定性的變數β0,β1,β2,用它們來確定了3個樣本值.而β則是樣本的乙個函式,作為總體β的估計量, = f(xij) ,一如Var(x)
= f(xi) .利用n個樣本值計算,與上文分析方差的論述同理,有3個樣本實際上是確定性的,見(1)式.因而真正參與計算的隨機變數只用n 3個.所以我們稱自由度為3.
最後，行文上的不嚴謹性，請見諒並批評.
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