為什麼統計學中的偏度用兩個三次方之比表示，而峰度用四次方呢？這背後的數學意義是什麼？

1樓：問問

問題：右偏分布，偏度係數大於0

問題是：右偏時候，均值右側可以拉的很長，但同時均值右側的概率更小，就是說，隨機變數在均值右側可以取很大值，但同時概率密度卻小，此時，能保證偏度係數一定大於0嗎（均值左側的『期望』一定抵消不了右側的（期望）嗎）？？

2樓：黎韜

1）偏度係數定義

若，則 ,

由隨機變數函式的數學期望定義可知：

(奇函式)

即正態分佈的偏度係數為0。

再來看資料的偏態，當分布右偏的時候，在密度函式影象上看右邊的尾巴比較長，更本質的性質是均值右邊對應曲線下面積（概率）比左邊大，因此抽樣中一般會造成大於均值的樣本多於小於均值的樣本。在右偏時，標準化的隨機變數z在y軸右邊密度函式曲線覆蓋下的面積大於y軸左邊密度函式曲線覆蓋下的面積，從而：

\int^_z^p_(z)dz>\int^_zp_(z)dz>0" eeimg="1"/>

反之左偏的偏度係數小於0.

因此在面對樣本的離散資料進行計算時，偏度係數為標準化後的資料分布和標準正態分佈對比的情況，大於0為右偏，小於0為左偏。

2）峰度係數定義

和1）類似，標準正態分佈隨機變數的四階原點矩為3，證明度娘搬運來了：

因此正態分佈的峰度係數為0，峰度係數小於0代表該分布比對應正態分佈要低矮，峰度係數大於0代表該分布比對應正態分佈要挺拔（如t分布）

從數學的角度可以清晰闡明這兩個定義的意義，至於為什麼一定要用三次方和四次方的問題，很簡單：奧卡姆剃刀原則，高階的矩也可以定義類似的統計量，但是計算複雜性大大提高，並且效果不會比最簡單的三階和四階矩好。

3樓：

其實沒什麼，不是先有偏度概念而後找表示式，而是先有三階矩的公式然後起個別名叫偏度。

如果一階矩二階矩還不夠描述分布規律的話，就上三階矩，然後起個名字偏度。峰度一樣。

4樓：慧航

其實道理很簡單。偏度和峰度都度量了尾巴的厚度，只不過是中心對稱的，所以如果左邊尾巴厚，那麼偏度係數小於0，是左偏，反之是右偏。而是關於y軸對稱的，兩邊的尾巴地位相同，尾巴越厚則峰度係數越大。

就像上面講義中說的，樣本偏度係數大於0不一定可以得到樣本均值大於中位數；同樣，峰度係數小葉不一定就是密度函式的峰很平緩，重要的看尾巴的大小，而不是峰的尖或者扁。