1樓：Fuka Reventon
不說初衷，特殊正交群表示之所以在量子力學裡面可以給出原子能級也是因為特殊正交群的不可約表示恰好就是對給定的譜，對應的擾動後的拉普拉斯方程的解，或者說，拉普拉斯運算元的點譜。換句話說，微分方程從一開始就隱藏在李群李代數的表示的背景裡面。
2樓：
有一天在圖書館看書時，無意在書架上翻到了一本講李群和微分方程的書[1]，開啟翻了翻之後，才了解到這一塊幾乎被遺忘掉了的數學歷史.
Sophus Lie(索菲斯.李)的夢想, 是想像Galois對代數方程的操作那樣去操作微分方程，他先從最簡單的微分方程 開始，它的解無非就是 的原函式 加上乙個常數項 , 但是得益於Lie的偉大觀察，他發現那個隨意新增的常數項 ，實際上來自於乙個連續變換群！這個群就是 ，這裡指數的定義為Taylor展開:
群乘法符合指數的乘法，如果我們把乙個特解 寫成 的形式，我們會發現這個(單引數)連續變換群 總是把解給變成解[2]，這就相當於離散的變換群 在 次代數方程中扮演的角色一樣，那個偏微分運算元 也稱之為這個連續群的無窮小生成元(infinitesimal generator).
如果我們令 ，把微分方程寫成乙個三元函式 (這也可以看成是 中的一張曲面), 這個時候，三個變數之間的關係為:
現在對任意乙個微分方程，以一階常微分方程 為例，現在仍改寫成曲面方程的形式，李依然希望可以找到一組座標變換 作為自變數， 作為因變數，以及 ，使得這個微分方程在這些新變數的記號下變為可以直接積分的簡單形式: ，而這個找法就是利用無窮小生成元.
現在，我們渴望找到這個微分方程的乙個無窮小生成元 (這也是最困難的地方)，使得它可以生成乙個把解仍然變到解的乙個單引數連續變換群，即 ，為此, 我們假定這個曲面方程在 平面中保持在如下座標變換下不變：
(比如說，在之前最簡單的情況下， ), 於是由泰勒展開：
其中 是無窮小生成元，它應當滿足 ，這被稱之為"決定方程"，它是用來確定係數 的，具體的確定方法是利用線性代數的方法，但是最近有利用代數拓撲的觀點來給出這樣的無窮小生成元，這裡就不展開敘述了.
注：這裡的 事實上和 有關，因為 :
因此可以看出 , 這被稱之為第一延展公式(the first prolongation formula).
現在開始構造新的變數 使得我們的方程可以轉化為直接積分的方式，也就是說，我們希望可以再次得到像 式那樣的關係：
這等價於去解一族一階的偏微分方程：
而決定出這些新的變數之後，我們就可以直接積分了：
最後，向19世紀傑出的挪威數學家，奧斯陸大學的驕傲——Sophus Lie[6]致敬.
索菲斯.李
如何看待李群 李代數在機械人控制中的應用？
Tensor 我博士時候也做過一些用李群研究飛行器姿態的工作 我覺得主要就是用李群描述系統以後，微分方程 組 就變成了一類有幾何結構約束的的微分方程了 就需要換一類分析方法和設計方法去對系統進行研究 感覺是挺有意思的方法。我個人覺得可以做到東西還比較多 可能應用數學中已經有很多相關的內容，但是怎麼賦...
如何（通過例項）理解李群上的積分？
雷死卡卡 乙個測度對應乙個積分。積分應該理解成函式空間上的正線性函式 Riesz representation theorem 算乙個函式的積分就是看這個線性函式在這個函式的取值。要involve群結構，就是說這個正線性函式可以descent到函式空間商調這個群作用。Haar s theorem說這...
SLAM中，李代數so 3 的指數對映就是這個旋轉向量對應的旋轉矩陣麼？
Linhuican 是的。其它回答講得比較清楚，也從幾何關係入手，闡述了物理意義。在此補充一下定義吧。在文 1 中 For rotations,we can relate elements of to elements of through the exponential map where and...