1樓：不若誰
就理解而言的話矩陣不就是「量變」而已嘛。多少個維度及維度值多少的概念。代數是為維持於純概念的工具而幾何是描述多少維度的工具。
運算的話當然不是我能亂放話的啦！櫥窗外看的人都很仔細的……儘管是門外「漢」。
注：要是有錯能得到糾正的話就像光腳丫受邀走紅毯。
2樓：三川啦啦啦
我就按照題主的要求，主要分為代數和幾何兩個部分談談矩陣。
矩陣與線性變換
開門見山，矩陣是線性變換的具體形式.
給定空間 中一組基 ，設一線性變換 ，則 對每個基的作用：
也就是說，
是 的「顯靈「——容易證明，雖然在不同的基下，同乙個線性變換對應的矩陣是不同的，但是這些不同的矩陣卻是相似的，這有點同乙個神仙有不同的「化身」的味道.
線性變換的退化
最典型的典型對映，即投影對映，是比較直觀的退化的線性變換：
設 " eeimg="1"/>， " eeimg="1"/>，則
於是也就是說典型對映 直接讓子空間 「坍縮」為零空間，而只保留了子空間 ；子空間 的維數實際上就是 的秩 . 典型對映 在這組基下的矩陣為：
對於一般的線性變換 其實也是同樣的道理——讓其核空間坍縮為零空間（就像果核一樣）. 所以得到如下結論是顯然的：
由上面公式可知，對於滿秩的線性變換，只是將 0 對映為 0，這意味著——
定理 1
非退化的線性變換將一組基對映為另外一組基.
證明
否則， 線性相關，即存在不全為零的係數 ，使得
而上式又等於
但是，滿秩的線性變換只將 0 對映為 0，即
這與 是基相矛盾.
順便說一下， 的矩陣可以看成是退化的階方陣，只不過增加的行、列都是零向量.
矩陣與線性方程組
將上面的過程反過來：已知某向量 經過線性變換 後的結果是 ，求 ？
因為 所以
即於是得到線性方程組 .
以線性變換的角度去理解線性方程組的解的結構，是深刻的——
命題 1
元線性方程組 無解的充要條件為
證明
充分性：假設 ，那麼 是乙個 維空間 到其 維不變子空間 上的對映，即. 假設為方程的解，那麼 也包含在 ；但是我們知道 是乙個含在維數大於 的子空間的向量，因為 r" eeimg="1"/>即 與矩陣 的列向量一組基線性無關，故矛盾.
必要性：若方程無解，即
說明 ，即 ，故
矩陣的特徵理論
是 的特徵向量，意思是 在 方向上的表現就好像是乙個伸縮變換（數乘變換）：
我們發現零向量恆滿足上式，這個平凡的情況我們無需考慮，所以特徵向量不包含零向量.
如果某一線性變換 有若干線性無關的特徵向量 ，那麼將它們擴張為空間 中的一組基 ，
並設 " eeimg="1"/>， " eeimg="1"/>，則有
考慮 在子空間 上的作用：
=<\lambda_\xi_,...,\lambda_\xi_>=U" eeimg="1"/>
也就是說子空間 在 保持不變. 而考慮 在這組基下的矩陣就會有很別緻的感覺：
其中 是乙個對角陣
特別的，如果 ，即 有 個線性無關的特徵向量，那麼矩陣就可以對角化.
矩陣與複數
這個對映看似簡單，實際上——
即滿足這是乙個同構對映，複數的性質可以完全用矩陣來刻畫.
由尤拉公式，
以同構 將之對映為
這個對映被完美地分解為乙個伸縮對映 和乙個旋轉對映 的乘積：
而同構 ，說明了伸縮對映 和乙個旋轉對映 在實平面同樣適用.
講到這裡矩陣的幾何性質也展露得差不多了.
特徵向量
若線性變換 保持直線 不動， 上的向量 就是特徵向量.
例 1
線性變換 在標準正交基 下的矩陣為：
顯然在這個線性變換下，保持 x 軸和 y 軸不變.
例 2
並不是總是有特徵向量，比如
這個線性變換是旋轉變換，以原點為圓心，逆時針旋轉 45 度，試想整個平面上所有的直線，有哪個能保持方向不變呢？沒有！所以 沒有實特徵向量.
不過，放到三維空間去看，事實上有乙個特徵向量在平面上是看不到的，想想地球儀的旋轉，保持地軸不動，所以在三維空間旋轉的特徵方向是與旋轉平面正交的方向——關於這個結論可以推廣到到酉空間、酉變換上：若 是酉變換 的不變子，那麼 也是 的不變子.
例 3
在象限對角線這兩個正交的方向上保持不變；更進一步，會發現這樣的性質：
驗證：這樣的變換被稱為對稱變換（容易證明），試想平面上的對稱變換的特徵方向，不正是對稱軸方向以及與對稱軸正交的方向嗎——關於這個結論可以推廣到到酉空間、Hermite 變換上：若 是 Hermite 變換 的不變子，那麼 也是 的不變子.
利用幾何的視角，許多結論是非常直觀的. 上面三個例子反映了伸縮、旋轉、對稱的特徵方向的幾何意義.
二次型
十萬個是什麼：怎麼解釋「正定矩陣」？
Hesse 矩陣判斷極值的幾何意義，就是研究函式在極值點處的近似二次曲面的性質.
行列式與體積
對角矩陣惹人喜愛不是沒有原因的，其非常本質的原因是正交性.
由解析幾何的知識可知，行列式絕對值表示的是 維平行多面體的體積，即
表示向量 、 所圍成的平行四邊形面積；
表示 、 、 所圍成的平行六面體體積；
如果矩陣是對角陣，那麼意味著所求體積是乙個（超）長方體體積.
另外， Green 公式的退化版本也可由此初見端倪，考慮平面上乙個包含原點、分段光滑的封閉曲線 ，考慮乙個以原點以及曲線上兩點為頂點微分三角形， ， ，那麼這個微分三角形的面積（這裡我們考慮有向面積，即面積可為負）：
當我們把這些微分三角形「積」起來，就是曲線 所圍成區域 的面積. 這就是 Green 公式——
令 ， 的退化形式.
同理，也可以推出 Gauss 公式的退化形式，這就又涉及到分析的領域了.
多元可微函式的導數
設可微向量值函式 ，記 ，
為其在 處的導數，幾何意義則是函式在該點的超切平面，這在低維情況下是顯而易見的.
雙線性函式
雙線性函式從很抽象的高度，將二次型、矩陣的跡、內積等等概念統合到一起加以研究. 其一般的形式為：
其中 是乙個矩陣，雙線性函式的全部資訊都蘊含在其中；當令矩陣為一些特殊矩陣時，雙線性函式就會得到十分多彩的性質：
（對稱陣）
（斜對稱陣）
（標準內積）
正定或半正定
我們特別偏愛具有對稱性質的雙線性函式，並且稱之為廣義上的「內積」，儘管可能不一定擁有正定性（這意味著沒有距離、夾角的概念），但是正交性還是被保留的，我們仍然認為擁有以下性質的向量是正交關係：
被賦予這樣內積的空間稱為正交空間，正交空間內可能會出現這樣的迷之現象，就是非零向量可能和自己正交，這簡直是 Bug 的存在！例如，在 Minkowski 空間內，
這樣的非零向量被稱為迷向向量，在狹義相對論中也稱光向量；這樣的內積使得在 Lorentz 變換下不變，從而滿足相對性原理，保持了時-空間隔的平方不變：
所以「尺縮效應」的數學解釋為：尺子在四維空間的時-空間隔是不變的（當尺子靜止時，他的時空間隔就是它靜止時的長度），但當速度太大接近光速的時候，為了保持「時空長度」不變，所以尺子的「空間長度」旋轉到了第四維度中，而我們肉眼能看到的只是「時空長度」在三維空間的投影.
虛線箭頭代表靜止尺長
斜對稱雙線性函式也是很有市場的，配備這樣的內積空間稱為辛空間，有限維正則（非退化）辛空間一定是偶數維度；Hermite 內積定義了酉空間，將正交性推向了極致……
能說得太多，以後慢慢補充吧。
如何理解可除代數和 SUSY Yang Mills 理論之間的對應？
C.Jie 最初是Adams利用K理論的方法證明了，R上的賦範可除代數只有1，2，4，8唯，分別對應實數R,複數C,哈密頓4元數H和凱萊8元數 唯數越大，數系的性質越差，比如4元數就不交換，到8元數的時候不僅不交換，鏈結合律都不滿足了，作為數系的擴充，我們可以考慮乙個稱為Clifford代數的物件，...
分別從方程和幾何的角度談談對實矩陣的理解，求詳解？
主要是從幾何角度來看矩陣，考慮乙個 線性對映 為了簡化，假設該對映是滿射。線性對映要求 線性對映保持線性空間同態。在 中分別選定一組基，就可以由線性對映 得到乙個變換矩陣 如分別選定中的基為 同乙個線性對映，在不同的基之下，有不同的變換矩陣。先考慮在空間自己的變換 設 線性對映可以視為自同態對映。考...
如何理解代數幾何中的 stacks 概念？
ligiao 我覺得其它答主沒回覆提問啊 不是，stack是在推廣 層 這個概念。最簡單的例子，你去考慮把每個概型取上面的所有的向量叢同構類，這東西不是層，因為區域性平凡，所以在截面與截面之間需要引入額外態射，在滿足一些條件的時候就成為stack。所有的層都是stack。 代數幾何中有兩個想法 Yo...