1樓：ocau
先證明：存在S的真子集A使得A到S有雙射 S為無窮集。
用反證法，即證明：S為有限集 對S的任意真子集A，不存在A到S的雙射。
這個可以看我的另乙個回答。
任何有限集都不能與其真子集建立一一對應關係怎麼證明？
再證明：S為無窮集 存在S的真子集A使得A到S有雙射。
這個需要先證明乙個引理：ω是最小的無窮集，即對任意無窮集，存在ω到該無窮集的單射。
我們先假設引理成立，那麼對無窮集S，有ω到S的單射f。
構造S到其真子集 S - 的雙射如下：
輸入x ∈ S，如果x ∈ f的值域， 則輸出f( (f(x)) )，否則直接輸出x
這個雙射的證明就留給你了，按部就班即可。
下面證引理：對任意無窮集A，存在ω到A的單射。
這個需要選擇公理，是有一些技術性的。我們設F是A的非空子集族上的選擇函式。
遞迴定義ω到A的冪集的函式h：
h(0) =
h(n) = h(n) ∪
即我們從空集開始：h(0) =
然後從A中選乙個元素組成集合：h(1) =
再從A中選乙個不屬於h(1)的元素和h(1)的元素放一起：
h(2) = h(1) ∪ = )}
以此類推
再構造ω到A的函式g：
g(n) = F(A - h(n))
這個g(n)正是與h(n)合併從而得到h(n)的那個元素。因為h遞迴的每一步新加的元素都與之前的不同，從而保證了g的單射性。g正是我們需要的ω到A的單射。
2樓：粟中一電子
A：S為無窮集，B：存在...一一函式
A推B：這是測度論的乙個定理。
B推A：反證假設B推A假，即存在...推S有限；設S個數為n，S的真子集s也有限個數為m＜n，且s到S存在乙個一一對應函式，則S的個數為m＜n，這與S個數n矛盾，故假設錯誤，A真，即S為無窮集。
3樓：遙遠地方劍星
這個很容易啊。
首先證明必要性：S為無窮集合 存在S的乙個真子集A使得A到S有雙射。
既然S為無窮集合，那麼S的勢至少為可數無窮多也就是 ，從而可以找到S的乙個子集M，使得M的勢為 。設 ，則S的真子集 即為滿足要求的真子集。
因為可以建立雙射 ， ，
然後證明充分性：存在S的乙個真子集A使得A到S有雙射 S為無窮集合。
反證法即可。假設S為有限集，而A又是真子集，那麼必然滿足 ，從而不可能在A與S間建立雙射。證畢。
4樓：KYUUSYOU SAMA
必要性用反證就行了
充分性可以先證明可數時，任取無限可數集合A=｛xi｝（i為自然數）中乙個元素x0，然後任取x1屬於B=A/｛x0｝，使得x1與A中x0對應，再任取x2屬於B/｛x1｝，讓x2與B中x1對應，這樣可以一直操作下去使得A/｛x0｝與A一一對應，即可數能夠證明，不可數在其中取一組可數集合由上操作就行
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