1樓：
實數是全序集是由公理直接保證的
對於集合R，如果它其中的元素滿足
1）域公理（R中所有元素構成代數域）
2）序公理（R中所有元素構成全序集）
3）完備性公理
則R被稱為實數集，其中元素被稱為實數
即使兩個人分別建立了不同的實數模型Ra和Rb（比如通常的實數集或者實數數軸），只要其間存在雙射，那就被看作是一回事。
所以即使「看上去」無法排序，序公理的存在也「強行」要求其中所有元素是可以排序的
反過來講，如果集合其中存在任何破壞鏈結構的元素，那麼可以直接判斷它一定不是實數集
2樓：陳啟元
任取兩個實數，這二者一定能「比較大小」，這叫「全序」關係。
乙個無限集合（不是有限集合），如果它和自然數集等勢，那麼它被稱為「可數」的集合，或稱「可列」的集合。否則，該無限集合被稱為「不可數」或「不可列」的集合。
「全序」是實數集作為偏序集的性質，「不可數」是實數集作為乙個集合的基數性質，是兩個方面的性質。
至於你給出的疑惑，從小到大把所有實數列舉出來顯然是做不到的。但人做不到，並不妨礙序關係的存在，因為我們可以根據實數公理或構造性方法（基於有理數，使用Cantor Cauchy序列構造法、Dedekind分割法等）自然地得到實數集上的序關係。
如何證明實數集是不可數集？
Khadgar 我前幾天寫實分析作業時想到了一樣的問題。就這樣的構造方法，是沒法搞出乙個對角線的新整數的，因為整數的位數是有限的。而用小數表示實數集，cantor集就不存在有限位數的說法。事實上，我感覺對角線構造方法有乙個瑕疵，即需要論證乙個數的無限小數表示方法是不是唯一的。不過這無傷大雅，通過某種...
如何證明實數集不可數？
nueert 引自徐森林實變函式。其中閉區間套由實數的定義可以推導出來。an,bn 長度極限是0，因此有乙個極限點，但是這個極限點不應屬於xn，但是又屬於xn，因此互相矛盾 可以先證出以下定理 設 是乙個非空的 若 中沒有孤立點，那麼 是不可數的。這個孤立點是這樣定義的 設 是乙個 若單點集 在 中...
實數為什麼是不可數的？
Choconuts 對計算而言，可列舉的定義不是無限數下去能數完，而是你丟給我乙個數，我能在有限時間內數到它。比如你給我任何乙個整數，無論它多大，它總是有限的吧？我總能在有限時間數到它吧？但是你這個機器，我丟給你乙個1 3你就數不到它。為什麼，因為1 3所在的那一行就是無窮長的，你根本不可能在有限時...