實數是乙個沒有大小的點，為什麼數軸可以無窮長呢？

1樓：MAN

以下回答我考慮了兩天。總算理出頭緒。不要小看題主的問題，

我覺得題主的懷疑很好，下面的回答也很好。因為體現了乙個共同的問題：忽略了「數軸」（或者叫實數軸）的定義的三要素之一：單位長度。

規定了單位長度後，數1就與單位長度1對應，以此類推。

單位長度可大可小，隨便定義。簡單點說，在定義單位長度之前，數1可以被定義在這個位置，也可以被定義在別處。

問題就出在這裡，如果脫離「單位長度」，則實數與數軸上的點就做不到「一一對應」了。一條未定義單位長度的直線，是做不到與實數一一對應的。

假設點有確定的大小，即》0，那麼因為0～1之間有無窮多個數，併排排列起來長度就會無窮大。數軸上定義了原點之後，就無法定義1的位置。

所以，點不能有大小。

那麼所有的沒有大小的點如何排布呢？假設全都釘在乙個點上重疊，是形不成直線即數軸的。就無法在數軸上表示數。只能橫向依次排列。

單位長度取得大一些，(0,1)區間的無窮多個實數併排的「長度」就大一些；反之，就小一些。

又知道，數0，無論怎樣疊加，始終是0(有的回答說「不可數」的無窮多個0相加的結果不是0沒有理論依據)，如果實數「緊密排列」，相當於釘在一處，也無法形成直線。

要解決上述矛盾，還有乙個出路：實數在數軸上的排列「有空隙」而不是「緊密排列」。至於空隙多大？因為數量無限多，所以空隙不確定的無限小。

數軸是人為定義的，目的是為了表示實數。因為實數數量無窮大，為了一一對應地表示實數，數軸必然無限長，這就是直線。數軸的無限長度是人定義的，因為人們無法用有限(長度的數軸)來表示無限(數量的實數)。

綜上，數軸的任務(表示實數)、定義(單位長度)，決定了數軸的三個特性：

1.代表實數的點沒有大小，

2.點排列起來長度無窮大，

3.實數在數軸上的排列有間隙，間隙是無限小。

2樓：

這學期學習了變分法,對賦範線性空間有了一定的了解.其實長度是一種範數.感覺腦袋裡有乙個粗淺的理解就是實數都可以分配到乙個範數,而這個範數就是他到原點到距離,絕對值.

而實數到其自身範數的對應是單射的,我們就可以先畫乙個數軸,根據範數大小把實數排列起來,趨於無窮遠的實數當然就是無窮大的.然而這樣一來,就自然而然想到乙個新問題:是不是數軸上的每乙個點都有乙個實數和他去對應的連續性問題.

原來的問題單純是從想到的.從範數的加法封閉性來說,結果是數字1的範數.dx只是乙個一階無窮小的範數.

額,我都不知道這麼說對不對,自問自答一波

3樓：小lich

其實 @活潑的喵哥的回答已經到位了，不過我想到了另乙個角度來解釋這個事情。

這個角度只回答問題本身。首先你需要接受的數學概念是……「無窮並不是乙個數」。和無窮相對的是乙個有限的，具體的數。

反證一下，假設數軸長度為L，那麼0到L+1區間的長度就大於L了。所以數軸的長度不會是乙個確定的數L，即是無窮。

4樓：大鈾子

提供乙個簡單的理解方式。

數的「長度為0」，線段有無窮個數，數軸上也有無窮個數。0*無窮的結果，可能為0，可能為任何數，也可能為無窮。所以線段長度為任意正數，數軸長度為無窮。

（並不是乙個證明過程，但可以參考極限的定義和洛必達法則）

5樓：

即使是小到和點一樣的磚瓦，用無限個也未必造不成萬里長城，你的思維還停留在有限，連可數無窮還沒達到。生活中的經驗往往有實際的侷限性。這個問題挺複雜的，本質就是個加法問題，給出具體解釋你也理解不了，不過可以告訴你該學的內容，先學好微積分，再去看實變函式。

6樓：活潑的喵哥

對於大小，我們嚴格地說就是測度，這是長度這個概念的延伸。每個點的長度是0。但是長度，或者測度，只具有可數可加性，也就是說，可數多個長度為0的東西加起來長度還是0，而不可數多個長度為0的東西加起來長度就不一定是什麼了。

而且把不可數個點放在一起形成的集合不一定有長度，能定義長度的集合叫Lebesgue可測集。題主學習一下實變函式或者測度論就了解了。