1樓：[已重置]
見陶哲軒《分析》第八章§2「在無限集合上求和」的引理8.2.5：
設 為乙個集合（可以是不可數的）， 是函式，使得級數 絕對收斂，那麼集合 至多可數。
證明：依定義8.2.
4， 絕對收斂 ，令 。首先，斷言集合 \frac\right\}" eeimg="1"/>有限——這是因為，若 \frac\right\}" eeimg="1"/>無限，則其中必然存在可數子集，表為序列 \frac\right\}_^" eeimg="1"/>，這使得 \frac" eeimg="1"/>，而 是發散的，依推論7.3.
2（比較判別法）得 也發散，直接同「 絕對收斂」這一前提矛盾。故集合 \frac\right\}" eeimg="1"/>有限。其次，集合 \frac\right\}" eeimg="1"/>中的元素個數不超過 ——如若不然，則 \sum_\frac>M\cdot n\cdot \frac=M" eeimg="1"/>，再次同「 絕對收斂」這一前提矛盾。
那麼，集合 可表為可數集的可數並，從而至多可數。
說白了一句話：絕對收斂級數的非零項至多可數。
其逆否命題為：若某級數有不可數個非零項，則絕對發散。
又鑑於正項級數的條件收斂與絕對收斂是一回事，而邏輯上原命題必然等價於其逆否命題，故不可數個大於零的數之和無窮大。
2樓：Curtank Zhang
讓我來終結這個混亂的答題區吧。
1、題主的問題：不可數個數的和一定是無窮大。
真命題。
證明見胡盛祺的答案。
手機黨，這裡簡單翻譯一下證明思路：
將無窮多個數分成若干組，
即2^（-k）到2^(-k+1)
則總有一組有無窮個，
求和，這一組數均大於2^(-k+1)和為無窮。
2、然而機智的題主舉了個栗子，
形如1+1+1+…=∞
這個例子則代表了另乙個命題：無窮數列的和為無窮。
額，這明顯是假命題。
隨便舉點等比數列就行。
3樓：溼蔥
這個應該是偽命題，但lz你的問題方式也不對啊，應該是任何不可數集合的元素的和都是無窮大
但是不可數集合的和是什麼呢。。。這個沒法用極限來定義
不過繞開這個問題，考慮乙個正方形，它是有面積的，比如定義在x,y=[0,1]上，那麼x和y都是不可數集合。接下來對x軸做不可數條垂線經過x上的點，這樣就吧正方形分成了不可數個，然而這不可數個正方形的面積之和等於1，因此不可數集和的和不一定是無窮大
4樓：
有個直接的證明
下證：如果有一有序非負實陣列(x_a: a in A), 其中A是乙個index set. 如果x_a中任意有限項的和都不超過乙個定值M, 那麼x_a中非零項至多有可數個。
證：對任意正整數n, 考慮集合A_n=(a: x_a>1/n)。A_n必須是有限的，因為如果有無限項x_a大於乙個定值1/n的話，它們的和就已經無界了。
於是(a:x_a>0)=所有A_n的並=可數個有限集的並，還是可數的。
5樓：Geom Z
，其中0" eeimg="1"/>，指標集是不可數集。
證明.假設對任意的，大於的數都有限的話，那指標集就變成了可列集。所以假設不成立，說明一定存在某個，使得中有無窮多個數大於 ，證畢。
6樓：安地
原來問題出在可數集的定義上，就說大家理解得怎麼不一樣。我介紹的這種情況下也是可數的。定義在這裡。
定義：「可數集」是每個元素與「自然數集N」的某個子集某個元素之間能建立一一對應的集合。
根據這個定義可知：除了「有限集」一定是「可數集」外，「無限集」也可能是「可數集」。
想起了這道題。
小紅和小明跑步，小紅在小明前面20公尺的地方，倆人同時開始跑，小明的速度2公尺/秒，小紅的速度1公尺/秒。出發後10秒，小明跑了20公尺，到了小紅出發時的位置，而這在這10秒裡，小紅又往前跑了10公尺，所以此刻兩人相差10公尺；在經過5秒，小明跑了10公尺，到了5秒前小紅的位置，而這5秒裡，小紅又往前跑了5公尺，所以此刻兩人相差5公尺。以此類推，小明只能無限的接近小紅，卻永遠超不過她，這是為什麼呢。。。
實數為什麼是不可數的？
Choconuts 對計算而言，可列舉的定義不是無限數下去能數完，而是你丟給我乙個數，我能在有限時間內數到它。比如你給我任何乙個整數，無論它多大，它總是有限的吧？我總能在有限時間數到它吧？但是你這個機器，我丟給你乙個1 3你就數不到它。為什麼，因為1 3所在的那一行就是無窮長的，你根本不可能在有限時...
能不能構造乙個有不可數個零點的連續函式
甚至可以要求這個函式光滑，也就是無窮次可導。因為存在緊支集上的光滑函式，它在有限閉區間以外的地方恒為0，在從0到非0的銜接部分足夠光滑。而且不是恆0這種平凡的 這樣的話，在整個開集上都是零點。當然解析可能不行，因為恆0滿足要求，如果f也滿足要求，則兩者在不可數集上相等，可以推出兩者處處相等 初等函式...
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辰昕 其實是這樣的，對於這樣構造出來的a 如果存在i，使得 那麼a中的第i位一定不與 相等，所以矛盾，於是a不存在於 中。對於自然數，你構造乙個 那麼存在 使得 所以a一定存在於 中。 梧靈 不可以的。因為對於所有從N到N的滿射，你構造的這個 每位都不同 的數都會在任意高位上有非零值，也就是說是乙個...