1樓：歧路行
（非數學專業）
以泛函分析的視角來看，所能得出的理解約莫是這樣：歐式空間就是有限維實數域上的希爾伯特空間，或者說是在內積向量空間上加上有限維及實數的約束，也可說是在有限維實數域上引進線性、引進範數、引進內積。
這其實非常好理解：乙個空空蕩蕩的世界裡原本是什麼都沒有的，而n維歐式空間中我們卻可以做那麼多事情：加法，數乘，向量的內積，等等。
如果刨去這些預設的設定，從無中生有呢？只有從「無」中開始，我們才能更好地認識「有」。於是我們往這個世界中一點點增加性質。
我們引入距離用來衡量元素間的動態關係，距離還不夠，我們的世界裡有那麼多的線性運算，當然要引入線性，那麼我們要定義某個東西的尺度怎麼辦，那麼引入範數，我們還要衡量元素間的差異，那麼我們當然要引入內積。當然，在歐式空間裡，這樣的引入是特定的，因為要符合大家對這個世界樸素的認識。所以空口白話解釋「什麼是歐式空間」是沒有意義的。
研究的態度應該是不斷追問某件事情的本質，這才能得到自己想要的答案。與君共勉。
2樓：jwars
空間可以認為是人們在建立分析框架時所用的基礎結構。這可以分為三個層次：你可以通過某些想法去建立乙個空間、你能通過某些關係去描述這個空間、你能通過這空間上的函式去分析問題。
1.你能建立這個空間。
至少，你空間中的點需要是唯一的，即你不能有兩個點搞的無法區分。這就是Hausdorff空間。
2.你能描述這個空間
你至少需要乙個數去度量某些性質，且這個度量必須是有某些良好的性質，這就要求是賦範空間。度量一般需要一定的自洽性，即引申至度量空間。你需要連續性，則其需要完備或者稠密（即可以完備化），否則難以分析鄰域。
則這就出來Banach空間。
3.你能利用這個空間
進一步，如果你需要一定的對偶性質，即其上的函式可以比較有效的反映原空間的某些性質，如果考慮有界線性泛函，這就出來Hilbert空間，因為一般的Banach空間的對偶空間很難表徵。若限制有限維，即只想分析一部分的變數，則得到歐氏空間。
僅是個人的一些想法，可能不是很嚴謹。
3樓：恆仔
一句話總結：歐幾里得空間就是在對現實空間的規則抽象和推廣（從n<=3推廣到有限n維空間）。
歐幾里得幾何就是中學學的平面幾何、立體幾何，在歐幾里得幾何中，平行線任何位置的間距相等。
而歐幾里得空間主要是定義了內積、距離、角（沒錯，就是初中的那些定義），理解了這些再去理解數學定義就很明確了。
計算兩個向量的內積（對應點相乘再加總）：
兩個向量內積的計算
內積的幾何概念是兩個向量的長度與它們夾角余弦的積，所以，內積可以表示成：
初中公式：內積
於是余弦值就是：
初中定義：余弦值
所以角的計算就是：
角的定義
計算兩點x, y間的距離：
點座標之間對應相減平方加總開根號
非歐幾何，愛因斯坦曾經形象地說明過：假定存在一種二維扁平智慧型生物，但它們不是生活在絕對的平面上，而是生活在乙個球面上，那麼，當它們在小範圍研究圓周率的時候，會跟我們一樣發現圓周率是3.14159……可是，如果它們畫乙個很大的圓，去測量圓的周長和半徑，就會發現周長小於2πr，圓越大，周長比2πr小得越多，為了能夠適用於大範圍的研究，它們就必須修正它們的幾何方法。
如果空間有四維，而我們生活在三維空間中，而這個三維空間在空間的第四個維度中發生了彎曲，我們的幾何就會象那個球面上的扁平智慧型生物一樣，感受不到第四維的存在，但我們的幾何必須進行修正，這就是非歐幾何。在非歐幾何中，平行的直線只在區域性平行，就象地球的經線只在赤道上平行。
閔可夫斯基空間屬於歐幾里得幾何的擴充套件，它是把時間也作為乙個維度進行量化，再新增光速係數，跟洛倫茲變換一樣，使得不同慣性系中的運動問題計算得以簡化。
引用出自：哪位能用通俗方式解釋一下什麼是歐幾里得空間
儲存一下公式的latex火種
4樓：楊群
其它樓的不是歐氏空間的精準定義。歐幾里得建立的歐幾里得幾何，平面上不需要指出那個點是原點。所以歐氏空間的精準定義是定義在仿射空間上的。
仿射空間可以看成向量空間未選取原點。
仿射空間A有乙個自然對應的向量空間V,向量空間V上有內積。這時A是歐氏空間。
定義4.2.3 P139
5樓：周欣宇
從起源來講，歐式空間是滿足歐幾里得《幾何原本》中幾何五公理的空間。維基百科 歐幾里得幾何 中給出的解釋如下：
1. 從一點向另一點可以引一條直線。
2. 任意線段能無限延伸成一條直線。
3. 給定任意線段，可以以其乙個端點作為圓心，該線段作為半徑作乙個圓。
4. 所有直角都相等。
5. 若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。
其中第五公理就是爭議不斷的「平行公理」。後來（大概是17世紀開始）反對平行公理的數學家們，只用前四條公理推出的、不滿足第五條公理的空間（例如：過一條直線外一點有無數條平行線的空間、沒有平行線的空間等）便是非歐空間。
也就是說，在這幫偉（dao）大（luan）的數學家出現之前，根本就沒有所謂的「非歐空間」，也自然沒有「歐式空間」，人們都普遍認為世界上只有唯一一種組成空間的可能，就是我們所生活的符合經驗的空間，也即歐式空間。
（PS：其實我們生活的空間並非歐式空間，比如地球的經線，互相平行但卻相交於兩極，是非歐空間，只是我們察覺不到罷了。另外，經線也是非歐幾何中黎曼幾何（橢圓幾何）裡典型的「有限無盡直線」）
（補充：歐式幾何裡的平行是這樣的：第五公設裡「若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角」 稱為兩直線非平行。
若內角和等於兩個直角（180°），即為平行。經線與赤道的交線形成的角均為直角，根據定義是平行。）
對於本科數學以下的數學知識而言，並不需要詳細了解非歐空間，也因此可以預設五公理均為正確。在這五公理下推導出的經典幾何定理（例如直角座標系、向量內積等）均是歐式空間下的定理。
簡單來說，如果不是數學專業學生，那麼平常我們生活、思考、做題的時候用到的空間都是歐式空間。當接觸到非歐空間的時候，才會去區分歐式空間和非歐空間。歐式空間在不同體系下有完全不一樣的描述，譬如直角座標系描述、向量描述等。
但是想要「通俗的解釋」，那就直接說「就是我們生活的空間」（初高中生的話，「立體幾何課裡的空間」）大概就可以了...
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