1樓：未之
將數學理論運用於物理研究。
2016諾獎物理學獎獲獎理由（我承認將300多字變為十幾個字會失真）。
具體就是指將拓撲學（數學理論）運用到相變（物理現象）的研究中來。
眾所周知，一般的相變（固液氣）憑藉肉眼也可以辨認，那為什麼要特意為拓撲相變在物理學中立乙個名目呢？
原來，一般的物質都有其明晰的相變條件。當其在一定的外界條件（溫度，氣壓）時，就會有容易了解的相。而當物體在一些特殊情況下，靠溫度氣壓不能很好的判斷物體所屬的相。
當物體十分薄的時候，相位變化是一種超流體到正常流體的變化，在這種情況下，靠常規的溫度判斷已經無法了解物體的相位，而超薄物體因為其具有獨特的物理特性（可用於超導研究）被人們所關注，此時，就是拓撲相變大展身手的時候了。
鑑於超薄物體複雜的相位變化難以了解，物理學家便引入了數學拓撲學――在物體形狀變化時具有保留不變的性質――孔洞數量。也就是說，我們可以憑藉物體內部粒子的排列時形成孔洞數量來判斷物體的相，顯然要簡單許多。
用上圖的甜甜圈來解釋，無論我們將甜甜圈做成方形還是圓形，對甜甜圈加糖還是加鹽，都不影響其相，只有在甜甜圈上再開乙個洞，或者一口將甜甜圈咬開減少其孔洞，才影響相。是不是很簡單呢？
綜上，用數學中的拓撲學使得物理中相變研究變容易，就是拓撲相變此次的獲獎原因。
至於對物理學界的影響，我想並不比之前的物理學獎大多少，但既然題主問了，我以為主要有以下幾點:
讓乙個之前不那麼引人注意的學科（拓撲相變）變得引人注目，可能會加快超導研究，減小輸電損耗，減小能量轉換中的熵。
再次讓人們意識到基礎研究的重要性，而不只是著眼於物理學的實際運用。
還有最明顯的，自然是如獲獎理由所說，將數學原理運用於物理研究。彷彿多年前大家以為解析幾何無用，費馬大定理無用，而後發現居然可以應用於物理研究。再次激勵物理學家將數學和物理結合起來。
――當年的大數學家尤拉大概也不會想到，自己在哥尼斯堡對於七橋問題的研究居然能對物理學有這樣的助力（拓撲學始於尤拉的七橋問題）。
2樓：
對Haldane chain稍微知道一些。
由於Berry相的存在，一維鏈在自旋為整數和半整數時性質不同。自旋為整數時形成Valence Bond Solid, 激發存在帶隙，邊緣態表現出半自旋。典型的例子有AKLT模型。
自旋為半整數時，基態表現出臨界關聯，激發沒有帶系，類似於Resonance Valence Bond。例如Bethe ansatz給出的S=1/2解。
就像 @何史提所講的，拓撲概念的引入突破了原有的對稱破缺的相變正規化，使人們意識到無序不再是簡單的混亂，而是可以擁有深層的結構。
拋磚引玉了。
3樓：黃大力
因為這幾位科學家首次用拓撲的概念去理解一些物理上發現的性質，並且他們的理論得到了實驗的證實。比如KT相變能很好地解釋二維的超導超流。KT相變與Haldane的理論預言都在14年得到了冷原子研究組的證實[1][2]。
對物理學的意義最基本就是至少提供了一種理解物理性質的新的方式。
Josephson junction arrays with bose-einstein condensates. Science, 293(5531):843–846, 2001.
Experimental realization of the topological Haldane model with ultracold fermions. Nature,
515(7526):237–240, 2014.
4樓：
Student1: People only pay attention to #the_1st_author.
Student2: Why?
S1: Who is the K in TKNN?
S2: I am sure T is Thouless, the 2016 Nobel winner, and I think K should be Kosterlitz, right?
S1: Well, now you know why I say so.
BTW, the K in TKNN is M. Kohmoto.
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