1樓：anderson
有乙個集合A，裡面有一堆元素；
當這堆元素滿足一些代數條件時候，集合A就「公升級」為「群A」，當再進一步滿足一些代數條件時候，則群A公升級為「環A」。
A集合的子集B，當A是環的時候，B又滿足一些條件，則B「子集」公升級為「子環」，當再滿足一些代數條件時候，B公升級為「理想」 。
此時B是環A的理想，則用理想可以做出A的「商環」，商環是很有用的。
就像乙個普通集合做出商集需要選乙個等價關係，而乙個環做出商環需要選乙個理想。
如果你說萬一不存在理想怎麼選呢，這個不用擔心，每個環都存在理想的，至少平凡理想總是有的。
2樓：激發態的數物演算法
先回答乙個。
1) 理想也叫理想數，目前一般只提理想。理想就是因子，最開始是費馬大定理中的數，比如12的理想是1、2、3、4、6、12。後來發展到集合，比如換、半群、偏序集合、集合、李代數。
最後發展到幾何，比如理想點、理想三角形。但總的來說，基本就是因子的意思；
2) 人們發現理想具有普遍意義，因此致力於推廣理想。戴德金在試圖直接推廣理想數概念時遇到了巨大的困難，最終導致他發展出了模理論和理想論。克羅內克則深化了型理論（二次型的推廣）和因子理論來解決。
戴德金的理論發展成了後來的環論和抽象代數，而克羅內克的理論則成為了代數幾何中的有力工具；
3) 在集合中，往往存在平凡理想（么和它本身）和非平凡理想（極小理想和極大理想）。非平凡理想類似正規子群；
4) ？
拋磚引玉。
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