1樓：天才
你這裡的問題其實不是出在Fourier Transform和Laplace Transform關係上，而是在上。是週期函式，不滿足Dirichlet條件中的絕對可積，因此通常意義上不存在Fourier Transform，其Laplace Transform的ROC不包含虛軸也說明了這點。而上面的Fourier Transform是通過引入後在緩增廣義函式空間裡的Fourier Transform
2樓：
不知道你知不知道Sokhotsky（大概）公式，
帶進去，最後一項是為零，所以這裡從Laplace變換得到Fourier變換還是make sense的，不過是在弱收斂的意義下，具體的說sint 的Fourier 變換是乙個with compact support的tempered distribution，而後你可以匯出sint 是乙個analytic（廢話），並且還有sint 的Fourier 變換一定是乙個analytic over some cone in C的tempered distribution的邊界值，你還可以用公式算出前者，而這就是Laplace變換，具體可以看一下Reed and Simon, methods of modern mathematical physics講Paley Wiener conditions那裡（Wiener是搞控制論，估計命名不是巧合吧），看完這個後你就可以看Wightman 公理化場論了_(:зゝ∠)_
3樓：波波沙
請看雙邊拉普拉斯變換（Bilateral Laplace transform），疑惑可解矣。
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我猜造成你困惑的原因是因為剛你書上講的都是單邊拉氏變換，讓人覺得這與fourier變換形式很像，其實這二者並不同。我記得學訊號與系統的時候學的都是因果系統吧，因此響應函式都是t=0以後才有值，因此單邊拉氏變換很適合分析此類系統。
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