1樓：黃泉
已知存在乙個烤箱，我們不在乎我放進去麵包後，烤箱裡出來的烤麵包。而我們在乎的是這個烤箱的普遍規律，我們知道，這個烤箱的效果是把放入的東西烤了，所以我便知道了，我放進去是什麼，出來的就是烤什麼。
而由於烤出來的整塊的東西，經常外焦裡生，於是我們把要放進烤箱的麵包或者其他東西進行傅利葉變換，也就是把這些東西切片，再放進去烤，這樣每片都能烤得很均勻。但是切片烤出來的東西，我們怎麼知道它沒烤之前是什麼東西呢？我們可以用傅利葉反變換：
把烤過的麵包片一片一片按順序摞起來，這樣就能看出這個東西原來的形狀：是牛角麵包還是法棍。
但是有時候可能麵包太硬了，刀子切不動，於是我們可以用水泡一泡麵包，把麵包泡軟了再切，這是拉普拉斯變換。
現在模擬回來，在工程上，我們較少關注某個點的函式值，而是關注這個對映本身。
我們通常是關注這個函式會將我們的各種各樣的輸入對映成什麼樣的輸出。
傅利葉告訴我們乙個定理：任何週期函式都可以用正弦函式和余弦函式的無窮級數來表示。不過這裡有個特殊的要求，這些正弦波的頻率都必須是某個最基礎頻率的倍數，所以頻率是不連續的。
也就是說，乙個週期時域函式f(t)，可以展開成一堆固定頻率的正弦波的求和。
以尤拉公式作為橋梁，我們可以將三角函式和指數函式聯絡起來，這時這個週期時域函式可以展開成係數跟頻率有關的指數項的求和。
因為上面說了頻率不能連續取值，所以這些係數是關於頻率的離散函式。
2π表示以弧度作為距離度量單位，走一圈所走的路程。週期T表示走一圈所用的時間，那麼2π/T就表示你走這個圈的速度，也就是單位時間內能走多少圈，這就是頻率。
實際工程中遇到的大量是非週期函式，於是我們這時，把非週期函式的週期視為無窮大。
之前我們知道這些正弦波的頻率取的是基頻的整數倍，當週期無窮大時，也就是我們走一圈無限久時，意味著我們走圈的速度無限慢，這時頻率無窮小，基頻無窮小了，基頻的整數倍之間的距離也無窮小了，離散的頻率就這樣連續起來了。
我們說過指數函式的係數和頻率有關，這時各項的係數也拼成了乙個以頻率為自變數的連續函式。
前面提到，乙個非週期時域函式可以展開成頻率互相間間隔無窮小的指數項的求和，我們知道積分無非就是間隔取得無窮小的求和，所以當頻率的間隔取得無限小，這些關於頻率的函式求和就變成了函式對頻率的積分。我們可以表達成：非週期時域函式可以由係數與頻率有關的指數項對頻率積分得到。
這個積分操作叫做傅利葉逆變換
經過一系列的數學證明可以得到，係數函式是時域函式的對時間的某個特定積分，我們把這樣的積分操作，叫做傅利葉變換。
所以乙個函式可以用一堆頻率連續的正弦波瘋狂疊加去逼近。
但是當這個函式發散呢，正弦波幅值是有限值，無法逼近函式的後段，於是需要給原發散函式乘乙個收斂因子，這個因子是指數函式，衰減速率很快，能夠壓制絕大部分不斷增長的函式，使原函式能夠被逼近。或者理解為這個收斂因子乘以後面的指數項，這樣指數項就可以表徵乙個包絡線發散，也就是振盪幅值不斷增加的正弦波，用這樣的正弦波，就能疊加去逼近發散函式。這個把發散正弦波疊加去逼近函式的操作，叫做拉普拉斯反變換。
這個收斂因子為指數項的指數提供了實部，所以指數項的係數函式的自變數的取值範圍，由虛軸擴充套件到了復平面上，求這個係數函式，叫做拉普拉斯變換。
時域函式可以得到乙個孿生的復域函式，兩個只是不同角度，時域函式是把不同頻率疊加，而把時刻分解，而復域函式是把不同時刻疊加，而把頻率分解。在時域函式裡，喪失了不同頻率對應的振幅的資訊。在復域函式裡，喪失了不同時刻對應的函式值的資訊。
但是如我之前所說，人們並不關注這些具體點的資訊，人們只關心函式的對映狀況，只要時域函式和復域函式一一對應，人們就能自由地將函式變換到自己想要的域進行操作，而不擔心損失資訊，因為大家在乎的對映關係的資訊並沒在這個變換中損失。
2樓：RockWan
拉普拉斯變換，為啥會有個拉普拉斯變換？它又能做什麼？它是一種簡便計算的方法，就像小時候學算術一樣，對於複雜的問題，我們就引入了未知數代入，拉普拉斯的思想也是如此。
對於方程，像線性常微分方程，往往計算會很複雜，然後我們引入拉普拉斯變換，能夠使計算變得簡單，將我們不熟悉，不太容易操作的微分方程，變成了變數為s的代數方程，也就是之前說的引入未知量的方程，小學，初中，高中我們最常用的方程，這裡的s被稱為復變數。至於學習中拉普拉斯時最常見的轉換函式，也是許多人最覺得難受的地方，歸根結底，還是為了將微分方程變成代數方程罷了。此外，這裡涉及的是數學十大思想之一的「等值替換」。
拉普拉斯變換有什麼用？
DIREWOLF 我們人通常理解世界的方式是時域，但頻域另乙個視角，另一種開啟方式，如同橫向切開蘋果裡面的星星。自動控制原理裡面的頻域分析，把系統看做乙個濾波器或訊號的輸入輸出函式，用時域開啟這個系統，分析訊號都要卷積，這簡直不能忍！另一方面，用頻域分析訊號，不僅賊好運算，而且運算完把頻域特性一畫，...
關於傅利葉變換和拉普拉斯變換的轉化問題
天才 你這裡的問題其實不是出在Fourier Transform和Laplace Transform關係上，而是在上。是週期函式，不滿足Dirichlet條件中的絕對可積，因此通常意義上不存在Fourier Transform，其Laplace Transform的ROC不包含虛軸也說明了這點。而上...
如何理解證偽拉普拉斯妖？
包Sir是個大音痴 先看一下定義就好了。拉普拉斯妖是19世紀提出的，此 惡魔 知道宇宙中每個原子確切的位置和動量，能夠使用牛頓定律來展現宇宙事件的整個過程，過去以及未來 20世紀初愛因斯坦提出的相對論基本就把牛頓的力學理論掀了，拉普拉斯妖從源頭就不攻而破，但是你要深究這個問題，把牛頓定理替換成愛因斯...