1樓：咚咚咚
我人已經無了........
昨天看書看到有這個題目（第二個，應該也是這裡說的拉普拉斯方程的左邊）然後中間有個步驟一直看不懂，我看了乙個小時都沒看懂.......
就是這裡的步驟
然後抱著睡覺的時候大腦會自動思考的想法，我過了一天再來做，然後就，應該算做出來了吧（中間那個極座標中極徑對極點的偏角等於0的解釋感覺還是有些拖垮，希望大佬幫我解釋一下嗚嗚嗚）
下面是這個回答中最長的步驟，最笨的辦法
但是我自己做出來還是好開心啊嘿嘿嘿(﹃ )！
2樓：
廣義相對論裡有個萬能公式，可以快速匯出各種座標系下的拉普拉斯方程，流程是 ，差不多算直接寫出來了。公式裡邊出現兩次的指標 和 要對所有座標求和， 是座標系線元 裡的係數，在廣相裡叫度規，是乙個n階方陣， ，當它是對角矩陣時， 。想看這個公式的證明請點這裡。
對於二維極座標系，座標線元為 ，則 ， ，完畢。對於三維球座標系，線元為 ，則 ， ，完畢。三維柱座標系， ， ， ，
總結，不管是什麼座標系，只要知道線元，再套萬能公式，就可以很快求出該座標系下的拉普拉斯方程。而且，如果線元里包含時間 ，還可以用來求達朗貝爾方程（波動方程）。
我們記原來的線元為 ，給裡邊增加時間項後新的線元 ，那麼，度規 除了增加了一項 外，別的分量都沒有變化， ， ， 是常數， 時 裡邊的 可約掉，因此這些項沒有變化，只有 ，（能直接約掉 是因為通常 裡不含時間 ）。因此，在任意座標系下，達朗貝爾方程都只比拉普拉斯方程多了 一項。
3樓：Peter-H
拉普拉斯運算元 定義為「梯度的散度」：
極座標系中：
推導：1. 極座標系下，梯度運算元定義為：（徑向變化的單位長+角向變化的單位長）
2. 由定義展開點乘即可得到拉普拉斯運算元在極座標系下的公式：
3. 過程中用到：
補充：拉普拉斯方程球座標下的計算 (2021.3.12)
4樓：半個馮博士
一步步來吧：
5樓：蕾絲熊
從數物方程這門課的角度出發，在復變函式領域，將C-R方程從直角座標系轉化為極座標系然後消去v或者u就可以得到拉普拉斯方程在極座標系中的表示。
手機打字略捉急，望海涵。
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