1樓：
「中間存在空隙」的意思就是：有理數的戴德金分割沒有乙個有理數作為分界。
已經是全體有理數了，對不對？而A和B裡面的有理數都不是分界，所以說A，B之間沒有分界。
而實數集是不存在空隙的，也就是說，實數集的戴德金分割總有乙個實數充當分界。
至於「一開始就已經預設無理數的冪運算和有理數一樣了嗎？」
這個要這麼看，我們引入負數、分數、無理數、虛數的時候，一開始就是抱著盡量不要破壞既有的運算規律設定的。
但是在論證過程中，不能使用。
在論證之後才能確信。
如果論證之後發現不符合怎麼辦？重新定義乙個符合的試試。
如果就是不符合怎麼辦？承認理想的結構不存在的事實。
2樓：
因為我們有乙個信念：實數必須要是完備的。
所謂完備，就是對極限運算封閉，否則分析中很多非常基礎的定理就不成立了。(weierstrass定理，上確界定理，列緊性……都不成立了，那數學分析的基礎就不在了)
對完備直觀的理解，就是實數上面沒有「洞」，實數可以和直線建立雙射。而我們發現有理數不能和直線建立雙射，比如直線上滿足x^2=2的線段存在(能用尺規做出來)，而在有理數中卻沒有此數
所以，實數模型中有完備公理
設A、B是兩個包含於R的集合，且對任何x屬於A，y屬於B，都有x小於y，那麼必存在c屬於R，使得對任何x屬於A，y屬於B，都有x小於c小於y
(抱歉手機打字排版不好)
完備公理保證了你那個分割可以找到乙個有理數之外的實數，即無理數。
另外，個人感覺用基本列定義實數的方法更加自然。有理數列的極限不一定在有理數中，那麼將導致取極限的時候，明明數列收斂，但是極限在有理數中不存在，非常不方便。於是擴充套件數域，使極限運算在實數中封閉，這是非常自然的想法。
就像除法整數環上不封閉，於是擴充套件成有理數域一樣。
另:實數的運算是先於實數存在的，運算跟元素本身無關，不管有理數無理數，都可以做乘法。
無理數的無理數次冪能是有理數嗎？
e lnx x，這是恒等式。x是任意有理數時，lnx顯然是無理數，e也是無理數。可以。比如根號2的以2為底9的對數次方等於3。根號2和log2 9 是無理數，3是有理數。其次，還有 2的根號3次方 的根號3次方 8根據施耐德定理得2的根號3次方是超越數。超越數肯定是無理數。還有e ln 2 2。還有...
如何用數學語言來定義無理數？
朱老忠 數軸上的乙個點，用均勻刻度度量，它在兩個刻度當中。如果繼續均勻劃分刻度，而無論怎麼均分，這個點永遠劃不到刻度上，這就是乙個無理數。 Z Zhou 既然想要數學語言的話，怎麼能離開集合和邏輯呢？集合 有答主已經提到了，無理數的定義是 邏輯 假設題主已經一路從空集推出自然數推出整數了，並且也知道...
無理數是分數嗎，為什麼？
先簡單的介紹一下無理數和分數的定義 數學上無理數並沒有直接給出定義，而是通過有理數的定義間接給出的。大致可以這樣理解 實數集中不屬於有理數集的數所組成的集合就是無理數集。簡單來說，乙個實數如果它不是有理數，那麼它一定是無理數，涇渭分明，水火不容不存在第三種情況。分數的定義 乙個整數a與乙個正整數b的...