1樓：之乎者也
這很容易回答，所有整數的個位數無非是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數其中的乙個，而這十個數五次方後，所得個位數仍然是其本身，所以整數的五次方的個位數跟這個整數的個位數相同。
2樓：改進海康
問題即求證k^5-k整除10
這就簡單了，化簡一下
k^5-k＝（k-1）k（k+1）（k^2+1）連續三個正整數相乘再乘以（k^2+1），必定被十整除（也就是2和5）連續三個正整數顯然包含因數2，k末尾數字取14569則5出現在三個整數中，k末位取2378因數5出現在k^2+1中，得證。
順便說一句，這個問題蠻有意思，但是是個可窮舉問題，因為可以設任意數為10*b+a，a，b為小於10的非負整數。（10*b+a）^5＝10*R+a^5
也就是說個位數字只由原來的個位數字a決定，至於為什麼5次方之後個位不變，別看我寫的像數論，實際上等於沒寫，數學的證明方法絕對繞不開窮舉。
學過一點計算機就知道了，其實歸根結底就一句話，10進製的性質而已。
3樓：
這個證明完全不需要數論相關的知識吧，甚至模運算定律都可以省略對於任意乙個形如 形式的非負整數
對表示式 展開後，除 這一項外，每一項都是 的倍數因此 的結果等於
列舉 ，對於 的結果皆等於
因此 的結果等於
即任意乙個非負整數的五次方，其個位數與該數的個位數相同
4樓：武且隱
數學歸納法
先證n=1,1^5=1
假設n=k成立，當n=k+1時，
(k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1中間那倆是10的倍數，k（k^3+1）是偶數，所以也是10的倍數總共餘1，k^5的個位不變，(k+1)^5個位為k^5個位加一還是k+1
5樓：我也不知道叫什麼
問題不嚴謹，不規範。由於個位數是這個數本身，則有範圍，正數僅可取值0到9的正數，一共10個數，有些不典型的規律也很正常。
6樓：Algebra
要證：對 ，都有 。
注意到：
證明：
先證：若 ，因為 是素數，故 ，根據費馬小定理，有 ，即：
若 ，不妨設 ，故 ，即：
再證：因為 ，易知： 與 的奇偶性相同，故 與 的奇偶性不同，故顯然 。
綜上，得證。
7樓：
可以使用乙個非常直觀的方法去證明。
首先， ，有 ，然後我們就可以基於此去證明，必有 和 。
我們進行乙個較為龐大的分類：
當 為正整數：
若 的個位是 ，則 的個位會是 ；
若 的個位是 ，則 的個位會是 ；
若 的個位是 ，則 的個位會是 ；
我們把這一句句話進行簡寫，例如，「若 的個位是 ，則 的個位會是 」就簡寫為 ，這樣一直把所有個位情況寫完，接下來的就是：
； ； ； ； ； ； .
這裡列出的所有情況證明出： 。
而我們又知，由於 和 這兩個必有乙個被 整除，因此也有 。
當 為負整數：
我們很容易知道，對於上面的 為正整數的情況，只要是已有 ，那麼對於這裡的負整數，就一定會有 ，此為易知。同理，當上面的 為正整數的情況，只要是已有 ，那麼對於這裡的負整數，就一定會有 。
而對於 ，由於無論 是處於正負哪乙個狀態， 都是同乙個數，因此正負同時會符合。
對於 的情況也是正負均會符合。
因此，當 是乙個負整數時，一樣會證出 和 。
當 ：和 必然成立。
綜上則知， ，有 且 。這就可以推出 。
這就代表，【對於任何乙個整數，當它的個位數字為 時，那麼 的個位數字也一定是 】。
也可以使用數學歸納法：
·對於 ，有 ，所以成立；
·設 時，有 。那麼對於 ，有 .
易知 ； ；
因此剩下驗證 ：易知 ，從而變成只要驗證 即可，若 為偶數，則易知成立，若 為奇數，則 為偶數，因此也成立，所以確實有 。因此 。
綜上，即是推出了： 。
因此 ，有 。
而若 是乙個負整數，那麼由於 的項都是奇數次數的，因此對於負整數 ，也依舊會有 。對於 ，易知也成立。
所以，有 。
也可以使用費馬小定理：若 是素數， ，且 ，那麼 。
我們選 ，則 ，從而知 ，這就自然有 ，所以 。
而前面已經用乙個很簡單方法證過 。
因此，綜合則是，當 時，就有 。
而若 ，則知 可以寫成 ，從而 ，可見照樣有 ，從而也有 。
由於 是正負整數均是適合這個結論的， 亦符合，因此 ，有 。
8樓：
也就是說，要證明10整除(a^5-a)。
費馬小定理:設p是質數，a是整數，則 p整除(a^p-a)，所以5整除(a^5-a)
另一方面，2整除(a^5-a)=a(a^4-1)，所以合起來就是10整除(a^5-a)。
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