1樓：怪獸入侵
假設乙個平面上的任意乙個點為p(x,y,z) ，法向量為n(a,b,b), p投影在n的向量為v
p投影n的向量的長度為d
則投影的向量 v = p 點乘 n 乘 n因為v = d * n
所以 d = p 點成 n
展開來就是三元一次方程
3維難理解可以畫二維的直線的定義也是 d= p點成n
2樓：第二貨
覺得煩的直接看（六）
一、向量的定義
二、向量的表示方法
三、向量的點積
四、cos定理
銳角也乙個樣
五、空間幾何的cos定理根據點乘定義
六、推導
根據：空間幾何的cos定理與點乘定義與向量平面垂直的90°性質（沒補充)
cosθ=cos90=0
這裡有一點缺憾：
（1）沒有向量與平面垂直的定義與性質（2）向量P。P為什麼是這樣表示的。自己也是似懂非懂
3樓：路人甲
這其實是乙個代數幾何問題(algebraic geometry)，一方面是我們用代數的方法刻畫了乙個多項式：比如f(x,y,z)=x+y+z+1，直觀上這是乙個題目中所說的三元一次方程；另一方面，在三維空間內，這個多項式的零點f(x)=0直觀的表現為乙個幾何的二維平面。
所以乙個很自然的問題產生了：我們怎麼知道用代數方法構建的某些函式的零點在幾何上是幾維的？完整的回答這個問題，需要
1.對抽象代數(abstract algebra)中的環（ring,polynomial ring, quotient ring,ideal)很熟悉
2.對拓撲（topology)比較熟悉，可以明白Zariski topology。
如果有以上基礎，直接看Hartshorne的Algebraic Geometry 第一章第一小節，尤其是Theorem1.8 。如果沒有相關經驗，接下來我大概說一下思路和需要的公式，其實我們已經習慣的樸素常識往往是一些純數之美的體現。
我們要用到的核心公式有兩個：
第乙個，height (f) + dim A/(f) =dim A
第二個，dim Z(f) = dim A/(f)
其中f指的是上文的多項式，如f(x,y,z)=x+y+z+1。（f)指polynomial ring generated by f。A是polynomial ring, 本文情境中指R[x,y,z]。
dim指維度，dimension。A/（f)是指quotient ring。Z(f)是(f)的零點，即滿足f(x,y,z)=0的點，在上文中就是我們的平面。
我們的任務是，根據已知的f資訊，在三維空間中（即dim A=3)，得到dim Z(f)=2，即多項式的零點是二維平面。
由於Krull』s Hauptidealsatz定理，對於上述的f, 有height(f)=1。又因dim A=3,所以由第乙個公式得到 dim A/(f)=2。這個表示式是有其代數含義的：
dimension of an affine coordinate ring。
第二個公式銜接了代數與幾何，它告訴我們，我們需要的的多項式的零點的維度就等於dim A/(f) 等於2。
綜上，我們得到了上述多項式零點構成了乙個二維的平面。
簡要總結一下，f是乙個從R^3到R的map: f(x,y,z)=x+y+z。那麼任何在R中的element都是regular value，因為the derivative map of f is surjective。
在上述提及的例子中，-1是乙個屬於空間R的regular value。我們現在問的是，-1的preimage在R^3中是什麼樣的？幾維的？
由preimage theorem可知，-1的preimage是R^3的submanifold,維數是dim(R^3)-dim(R)=2維。
其實在這個過程中，不變的是co-dimension：-1是乙個在R中的點，dim=0, codim=1。 -1的preimage的codimension和-1一樣也是1，-1的preimage是在R^3空間中，所以dimension=3-codim=3-1=2。
4樓：曉鳴
從代數方程的角度：
三元意味著有三個變數，三個變數可以看作三個點，在三維空間中，三個點確定「乙個」平面。 （相反，兩個點確定不了乙個平面，只能確定一條直線）
擴充套件到線性代數的矩陣，
三元一次方程，包含有三個向量，三個向量也是能確定乙個平面（通過三個向量頂端的「點」，就是能確定乙個平面嘛。）
5樓：劉玉龍
給定乙個z值，xy的取值就成了在z值高度水平面裡的直線，改變z值。如果在平面幾何裡看相當於直線平移。拿到空間座標系裡看也是平移，只不過是在垂直和水平兩個方向同時平移。
就像物理裡的平行四邊形原則，兩個向量同時改變。所以平移後就組成了平面。
注意z值固定時xy的點集是直線，其他的就好想了。
6樓：青春
你把三元一次方程就當作線性代數裡的乙個方程，然後解它。。一般情況下，通解裡有乙個特解，兩個自由解，這不就已經是平面方程的樣子了嗎！順便說一下，特解就是平面經過的定點，那兩個自由解就是平面上的兩個不共線向量。
所以啊，解析幾何就是線性代數的另一種語言表述！！！
7樓：司馬池廚
乙個垂直的向量（法線向量），乙個點，可以確定乙個平面。
假設已知向量為N｛a,b,c｝，已知點為M0(x0,y0,z0)；假設平面上任意點為M(x,y,z)，則
垂直向量的點積為0可得，N*(MM0)=0
即，a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 平面的點法式方程
令d＝-ax0-by0-cz0
有ax+by+cz+d=0 平面的一般式方程
8樓：CNYELLOW1981
平面幾何中，斜率為常數的曲線定義為直線。同樣的，空間幾何中，法向量不變的曲面定義為平面。根據這個定義列寫平面方程就會發現所有的這樣的平面方程均為一次方程（三元一次或兩元一次或一元一次方程）。
然後我們可以反過來再問，是不是所有的平面方程都可以通過這個定義列寫出來？如果可以，那麼從統計的角度我們就可以說平面方程為一次方程（三元一次或兩元一次或一元一次方程）。
9樓：
「平面」這個詞在人們的語言中常常出現。在日常生活中人們常常把光滑平坦的表面稱成為「平面」。學過幾何的人看到乙個平面，有可能會想像這個平面的無限延伸出去，沒有盡頭。
但這些都是人對於「平面」這個概念的直觀印象，並沒有嚴格區分什麼樣的物體是平面，什麼樣的表面平面不是。對於乙個概念，如果人不加以明確說明這個概念到底是什麼，一定會產生問題。
現在是十月21日凌晨12: 54分。題主的這個問題有8個沒有被摺疊的答案。
排名第一的答案是：
定義平面為R3中乙個線性方程定義的零點集。
這個答案是可以接受的。有了這個定義，就可以這樣回答題主的問題：因為平面被定義為中的線性方程的解集，所以中的線性方程的解集可以表示乙個平面。
這個答案是不是很暴力。
排名第二的答案是：
這個答案的前五行是正確的，中學裡就教過。但是最後一行似乎是操之過急。「滿足條件的點組成乙個被向量(A, B, C)垂直的的面」。
憑什麼說最後這些點就組成了面？到底什麼是面？
我要是硬說「滿足條件的點組成乙個被向量(A, B, C)垂直的的萌萌萌」行不行？你肯定不能說我這句話是錯的，因為我沒有定義「萌萌萌」是什麼東西，憑啥說俺錯。誰要是硬說俺錯，我們找誰說理去啊。
但是這個目前排名第二的答案隱含了一些人們對平面的直觀感受。那就是平面是包含線的。同時還包含點。而且這些線還要滿足某些限定。
10樓：uefi455646
數學是對人類思考的問題建立模型的科學。也就是說時候能夠準確的描述所要描述的問題是數學是否有異議的關鍵。無論直觀上三原方程和立體空間的直線差距有多大，只要方程的解集和所表示的直線上所有的點能夠一一對應，就能說方程準確地描述了這條直線。
11樓：
無關回答……乙個賦範線性空間上的超平面定義為，其中是不為0的空間上的線性泛函。三維空間中，乙個三元一次的一次器齊次線性方程對應乙個線性泛函，它的零空間的平移自然就是乙個超平面。
12樓：「已登出」
當然 @zero 的答案是最標準的。但是如果你真需要對斜率的對比，你有兩種想法
1. 我們認為這個平面有(3-1)=2個斜率，或者說 (x,y,z) = (x0,y0,z0) + (fx1,fy1,fz1) s1+ (fx2,fy2,fz2) s2
然後上面的(x,y,z)在(s1,s2 \in R)得到的集就是線性方程的解集
2. 把斜率轉90度，所有地方垂直的向量是平行的
個人推薦第二種理解，因為這個東西往後看就可以看到為什麼乙個Rn的空間的基是n維的
13樓：韋涵宇
為什麼簡單的事情會被你們扯成這樣？其實很好想啊，給定任意的z值，你會得到無窮多條斜率在x-y平面相同且互相平行的直線，由於z軸作為乙個座標軸，一定是稠密的，那麼這無窮多條直線在z軸的方向上也是稠密的，那就構成乙個平面了唄……
14樓：
那我們繞遠一點來解釋這個定義的問題。
首先該方程只有兩個自由度，也即是定了某兩個變數之後，另乙個變數妥妥定了，那麼這個方程只能表示乙個二維的流形了，也即是解只能是個二維的空間，那麼現在要想證明這個空間是平面怎麼辦呢？因為它過原點，所以證明它符合線性空間的定義即可嘛。
然後歸總起來，就是這個方程確定了乙個過原點的二維空間，且該空間是線性空間，所以，它只能是平面。
這麼解釋爽不爽啊！
三元兩次方程 和 作差後得乙個二元一次方程 ，為什麼將 代入方程 或者 後得到的方程 是一樣的？
多問一問想一想是對的，舉乙個你熟悉的例子 y 4x 3 y x 聯立這兩個式子，或者說承認他們同時正確。你願意對他們執行加減乘除都不算錯，所得到的都是 交點 的數學資訊。不過很明顯，相減最簡單 對於此題而言最簡單，具體問題要具體分析 因為相減可以消去y，得到x 1這自然是交點的數學資訊，再將x 1代...
2X 3 2X 4是一元一次方程嗎？
首先你要知道什麼叫元，什麼叫次。元指的是微小的變化量，通常簡稱微元，既然是變化量，那自然就是未知的數，就是X。而次指的是未知數次數，那為啥叫次呢？因為是一次一次的相乘，那x乘了多少次，就是x的最高次冪，即最多有幾個x相乘。那麼上式就是一元一次方程，只不過方程無解。方程是指含有未知數的等式。是表示兩個...
有沒有能強大到能解五元一次方程的數學軟體？
王Evonne 還以為是五次方程.剛要擺出我上學期學的rebel Ruffini theorem然後談談怎麼用iterative method做測算結果只是五個未知數放矩陣裡一化簡就行了大兄弟一般科學計算器也可以的 Liebestod 線性代數了解一下 順便一提，手機軟體的話隨便找個矩陣計算軟體都可...