1樓：崔巨集武
牛二F=ma和胡克定律 F=kx
a是x對時間兩階導數，對同一座標系
ma=-kx，得到關於時間的二階微分方程（振動方程）
2樓：Reimu Hakurei
首先，由牛頓第二定律知 。另外由題意知 。
聯立得微分方程 。
這是二階常係數齊次線性微分方程。一維運動的話，不妨將 退化到 。
解特徵方程 ，得 。
於是 。
可以變換一下。
這就很熟悉了。以上變換是正則高中內容，請放心食用。
其實 的解也就出來了，各分量均符合上面的通解。
3樓：十萬丶伏特
很簡單啊根據胡克定律，F=-kx，又根據牛頓第二定律，F=ma，聯立起來就得到了ma=-kx，又由於加速度a是x的二階導數，所以mx'『=-kx，變形一下就是x''+kx/m=0咯。
這就是個簡單的二階微分方程。至於怎麼解，其實看方程的形式就能看出個大概，乙個函式的二階導數加它自己等於0，這種函式肯定是cos的形式咯。
4樓：
是方程取 的情況 .
指標方程為 ，有 。
, 故先考慮 的解
有遞推關係，
遞推邊界條件
兩邊做連乘, 我們自然地有，
即第乙個解為
第二個解可以利用齊次二階方程的性質來解
令第二個解為 , 帶入原方程有
整理得到
有自然地有一階方程取
分離變數並積分
自然地有
再積分最後我們得到第二個解
有通解考慮邊界條件
.你看我們之需要簡單的微積分，從頭到尾都沒有猜過乙個解。（狗頭別人問的是怎麼推導，不是問怎麼猜的解。（請各位隨手寫sin cos的注意 （狗頭
5樓：
質點所受合外力滿足：
也即：解這個簡單的二階線性微分方程的方法多了去了，我舉兩個例子：
對於二階線性常微分方程
這裡 0" eeimg="1"/>
則這個常微分方程的通解顯然是
令 這是簡諧運動的角頻率則其中
，這是振幅
，這是初相
顯然，這是週期
而令 時， ，
代入初值條件，得
， ，令 ，即振子的瞬時速度大小
則 兩邊對 積分，代入初始條件（ 時， ， ），可得可以用定積分把結果積出來
本題不推薦這種換元，但這種換元在對付一些二階非線性的常微分方程時很有效
6樓：TravorLZH
令 ，則有 。根據初值條件 ，可通過對等式兩側進行拉普拉斯變換，得：
再進行拉普拉斯逆變換，得：
最後結合 的定義，可知簡諧振動公式為
7樓：費曼的稿紙
已知運動方程 ：
可以選擇積兩次分別解出 和 ；首先要做一次常用的恒等替換：由 ，我們有 ，代回消去
於是原方程化為 ，記 ，至此獲得了可分離變數的簡單方程容易解出： ，C 為常
再積一次即得到
即我們所熟知的
（其中 整體為新的常數A，與 均由初定）
另一種角度不難看出，彈簧振子的運動方程是乙個簡化版的二階線性齊次微分方程，可以套用通解的推導方法：首先猜得解的形式為 ，其中 是其中一種振動模式
於是有 ，代入原方程 ：
有兩模式 ，其中 為虛數單位
於是位移為兩種模式的線性疊加
虛部存在的意義是描述彈簧振子在復平面上的勻速圓周運動，實際意義需要取在實軸上投影
於是諧振週期即為三角函式週期，
其實從最後這步已經能看出來初始直接猜成 也是符合條件的並且正確的
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