1樓：子預
我把自己腦子裡面一直認為的圓面積公式推導分享一下。這個推導十分簡潔，唯一的遺憾或者說優點就是需要用一點點微分的思維來思考形變。
假設我們有乙個圓，半徑為，如果半徑增加，增加的面積就是外層的乙個圓環，我們用一點點兒拓撲的思維把這個圓環用剪刀剪開，然後拉平，就得到乙個梯形，如下圖：
顯然，我們知道梯形的面積公式是 ，所以這個梯形的面積就是 ，
稍微化簡一下就是 。
考慮到這個梯形拓撲上等價於原來那個環形，我們思考一下那個環形，當 , 時，環形是不是就是圓本身，所以就有 。
這個推導唯一的缺點就是需要理解環形為什麼可以剪開拉平成乙個梯形，這個沒有嚴格的論證，需要一些微分的知識。但是從另乙個角度說，正是因為使用了拓撲學，這個推導應該已經十分接近這個定理的本質了。
2樓：魔法少女蔡徐倫
可以使用 Poincare Disc 模型：
表示平面。不妨假設這個圓的圓心位於原點 ，並設 ，那麼：
當且僅當 時， 的長度為 。因此半徑為 的圓由 給出。
於是可得半徑為 的圓的面積公式
什麼你問的是曲率為 的空間中的圓面積公式嗎？對不起……職業病又犯了，預設曲率為 了。
3樓：小學狀元計畫
一、轉化為平行四邊形或長方形將乙個圓分成若干（偶數）等份，剪開後，用這些近似的等腰三角形拼接成平行四邊形（如圖所示）。
如圖，可以利用「割補法」，把平行四邊形轉化為長方形。
二、轉化為三角形
三、轉化為梯形
如圖所示，將乙個圓分成若干等份（以24份為例），剪開後，用這些近似的等腰三角形拼接成等腰梯形。
以上這3種方式都可以推導出圓的面積，希望可以解決您的問題呢。
最後可以提醒一句，如果小學數學學起來比較吃力，可以試試尖刀俠《名校學霸尖刀卷》。我們班的孩子都在用，覺得還挺不錯的。裡面會幫學生彙總所有的知識考點，試題也全都是名校真題，最重要的是講解非常詳細，是孩子的家庭輔導專卷！
可以試試看哈。
感覺上面的知友們都回答得好專業啊~瑟瑟發抖~
4樓：紫信
把圓分成n個沿半徑方向由小到大的圓環
每個圓環的面積為其周長乘(R/n)
把這些圓環的面積加起來就是圓的面積
求和的過程可用定積分表示如上圖
5樓：JH song
順一條半徑切一刀展開，成為由圓心和圓周切點兩頭形成三個頂點的三角形，只需要考慮底邊即圓周和圓心到底邊的垂直線而不需要考慮另外兩條邊，底邊是圓周長2πr，高是r，這裡隱含著一點到一條直線的距離垂直線最短的道理，所以半徑r到圓周一定是垂直線，則圓的面積等於這個三角形的面積
此△面積=圓周長×半徑÷2=2πr*r/2=πr^2 即O的面積
6樓：ese
首先你要知道什麼是面積，可以叫R^2上的Lebesgue測度，然後研究積分的幾何意義，證明積分能積出面積來，最後求出積分.看下週民強的實變大概就能弄懂這些了，不是特別難.
7樓：方賢新
實際上圓面積與方形面積形成有相同之處。
方形面積形成，是一根直線，向乙個方向，橫向同時均速移動兩端，所形成了正方形或長方形。
圓面積的形成是，一根直線，固定一端，移動另一端，繞一周形成了圓形。
所以圓面積也可以這樣去算，周長乘半經除貮。
8樓：李青影
-圓的面積公式是如何推導出來的？
許多答案都提到了，比如laszloSun的答案
我小學時王老師就是這樣教的，但當時還是有疑惑，為啥那個花邊就能當成直線呢？
用微積分、三角函式也能證，但有兩個問題，一是不直觀不適合理解，二是三角函式本來就是圓定義的有迴圈證明的嫌疑，微積分的基礎也很少有人觸及只是把結論拿來用。。。總之這樣證我覺得不夠根本
所以這裡嘗試說得更基礎更直觀一些，盡量解除疑惑（不指望你能看完，只是告訴你這件事是可以說清楚的）：
思路還是，把一圓分成n個扇形，然後插成乙個近似於長方形的東西
1. 這個長方形的寬是r，長是圓的半周長 所以面積是
長方形面積公式，這個實是面積的定義
2. 的定義是圓的半周長和半徑r之比
這是個定義不需要證明
3. 當切的份數很多時，插成的形狀的面積趨近於那個長方形的面積
這裡趨近的意思是，給定任意乙個正數 ，存在乙個正整數N使得對所有切的份數n>N，都有：面積的差值小於
實是極限的定義，小學雖然碰到了但大概不會說出來以防止零亂
為此，要考慮兩個正n邊形，乙個是那個圓的內接正多邊形，另乙個是外切正多邊形，把這兩個正多邊形分別像剛開始那樣插成兩個長方形
4. 一開始那個近似長方形的東西的面積介於這兩個長方形之間
這個符合直覺吧？還用展開證明嗎？
5. 這兩個長方形的面積當n很大時趨近於同乙個值
4和5合起來就是所謂的`夾逼原理`，就是用兩條直線去夾那乙個花邊，需要證明的是
6. 當n足夠大時，直線所夾的那個區域的面積趨於0
比如 是那n個扇形之一 是內接正n邊形的乙個角， 是外切正n邊形的乙個角，那個大一點的長方形和小一點的長方形的面積的差值~ ，那 是趨於 的，乙個有限的值
而CP的長度是 這個涉及三角函式，但是我們只是用它來表示一下，想說明的是
7. 當n很大時，CP的長度趨於0
這個符合直觀吧？要想嚴格證明的話涉及到一些定義和歐氏幾何的公理，我覺得在這裡應該沒這個必要全寫出來了
然後因為分的份數很多時 是有限的，CP卻趨於0，所以 的面積趨於0，就夾出了圓的面積是
圓的面積怎麼算出來？
如何用初等的方法，嚴格證明圓面積公式？
在發明微積分之前，人們是如何理解和證明圓的面積公式的呢？
如何用微積分推導圓面積公式？
馬友發：圓的面積為什麼是πr？
9樓：星極北
可以用積分的思想，在知道圓的周長公式的基礎上，進行推導。
已知圓的周長＝2πR
想象乙個圓(可以想象成乙個圓餅是有後面的很多圓環疊加而成)是由很多個同心圓(可以想象成圓環)構成的，只是半徑不同，所以圓的面積可以用很多個同心圓的周長相加近似得到，當同心圓的個數越來越多越細密，相加後得到的面積與實際面積越接近，再根據微積分裡的極限的思想。
得到圓的面積s＝∫2πx dx(0～R的積分)＝×2πR－×2π×0＝πR
∫是積分符號
R是所求面積圓的半徑(已知常量)
x是變數代指變化的半徑
積分的公式不規範，不熟練輸入法，打不出想要的效果。
10樓：
圓內接正n邊形面積的極限。從圓心連線此正n邊形的每個頂點，就將正n邊形割成了n個小等腰三角形，此等腰三角形面積用兩腰乘積乘以夾角正弦除以二分之一非常容易計算。然後用一次基本極限公式，就出來了。
更新： @邱幸瓏 指出不嚴謹，感謝之餘，更正如下：同樣的方法可以計算圓外接正N邊形面積的極限，內接和外接趨於相同的極限，由夾逼原理，這個極限就是圓的面積。
11樓：
圓心在原點，半徑為的圓方程為
當時，和是一一對應關係，可以看出函式
基本微積分知識告訴我們，當我們求積分時，就是求半圓的面積，於是利用對稱性，我們可知
可以利用第一換元積分法等方法求出該積分的值，最後結果就是
12樓：Snorri
給乙個不同的想法：
1.由於確定乙個圓只需要圓心和半徑，而圓心的位置和面積是沒有關係的（圖形的平移不變性），所以圓的面積應該是乙個關於半徑 r 的函式：S = S ( r )。
2.等比例的座標放縮變換對一維物件的作用是等比放縮，對二維物件的作用是平方放縮，因此各種平面圖形的面積S如果滿足S = S (d1, d2, ... , dk)，那麼S (k.
d1, k.d2, ... , k.
dm) = k^2 . S (d1, d2, ... , dk).
所以圓的面積S ( r ) = r^2 S ( 1 )，它正比於r^2。
3.假設圓的面積S ( r ) = C r^2，那麼考慮圓中乙個扇形的面積。假設這個扇形的弧邊長度是 ar，那麼由於圓形的對稱性，扇形的面積和整個圓形面積的比值應該等於弧長和圓周長的比值
S(扇形)/S(圓形) = ar/圓周長
4.在弧長趨於0的時候，可以將扇形看成是以弧長ar為高，半徑 r 為底的三角形，面積約等於 ar^2/2，
所以a趨於0的時候，
ar^2/2Cr^2 ~ ar/圓周長
也就是說，圓周長/2r = C
所以C等於圓周率π。
尤拉公式是定義的還是推導出來的？
烙茲 痙攣劇痛 推導特里斯坦 尼達姆的 視覺化方法 給出了一種比較簡單證明。首先，對於 若令 則 這一求和得到的結果仍是複數，所以我們可以拆分為實部 和虛部即 由於虛部 實部的參量各自收斂，所以該複數項級數最終也收斂於復平面上一點 這裡還可以看見 其實這一步也能直接對比三角函式冪級數 對於乙個和th...
圓錐體的體積公式是怎麼推導出來的？
其實可以模擬於稜錐。我們知道長方體有六個面，把每個頂點兩兩連線，就可以得到六個椎體。並且，每乙個椎體的底面積和高乘積都相等，體積也相等，為長方體的六分之一，即1 6abc。再考慮等高於長方體的稜錐，這個椎體的高是上述稜錐的兩倍，體積也是兩倍，為1 3abc。這樣就解釋了稜錐當中的三分之一是怎麼來的。...
高中數學公式是怎麼推導出來的？
最基礎的理論要背，高階結論要會推，能推出來也基本上能記下來了，而且能長時間記住，會推很重要，能自己推出來的公式，用起來也會更順手，起碼不至於死搬硬套，綜合運用時也會更順利，解決難題的概率會提高， 如果應付考試，短時間內死記硬背也許有效果，但考試前需要背的東西肯定很多，還有其他科目呢。拿我自己舉例，中...