1樓：半枝蓮
證明定理的意義在於兩點：
一是研究方面，可以輔助相關概念的深入理解並促進相關思考發現問題實質。
二是教學方面，可以類似工業化系統的方式分解還原整理知識體系，以一種邏輯主導的形式傳播傳授以助於後人學習。
優點其他答主提了不少我簡單說一下證明體系的可能弊端或侷限性。很多時候特別是近代數學的一些複雜證明並不能真正幫助理解問題實質，可能出現每一步都清楚但整體問題為什麼能被解決還是有理解障礙，說明證明這種分解還原的演繹推理模式對事物性質整體的把握有時效率不高，這點見過一些物理或數學家都提過，如Polchinski自傳中說過類似的大意是我們能理解的比能證明的多很多。某種意義上證明可以看做理解的一種工具或腳手架吧。
過於強調證明的教學體系或人為形式有時會阻礙概念的理解，掩蓋問題的真正動機或解決路徑。
現在看來 ，真要嚴格證明基本不會有這些發現，換句話說，公理化體系及證明途徑更主要是教科書需要，是一種知識整理與理解輔助方式，一般積累經驗到一定階段都會嘗試這種方式來整理的，包括劉徽注也有一些原理定理類似的演繹推理與發展但還是作為演算法解釋的輔助而已，這才是研究意義的數學模式。現代人對公理化證明體系推崇過度了，很大程度不過是人云亦云。證明定理很重要但並非數學研究的唯一形式甚至不是研究發現的主流途徑。
2樓：不學無術
定理是否正確要先證明，如果證明正確了，你可以直接拿去用
為什麼有的人還要學定理是怎麼證明的？
這就像學如何證明定理是教你如何造車，直接用定理就像是開車(用車)。世界上很多深層次的東西都涉及到車本身的質量問題，而不僅僅是怎麼開的好。所以這裡就需要「數學家」去改進，研發新車了。
這些都得建立在舊知識上面
3樓：子儀
未經證明，猜想（或者掛名為「定理」的猜想），只能是猜想，絕不能當成定理來運用。只有經過嚴謹的證明（或者絕無異議的計算），猜想才有可能成為定理來被運用。
4樓：靈劍
數學它是乙個成體系的東西，也是乙個用來解決實際問題的東西，書上列舉的定理雖然都很重要，但你實際要解決的問題不一定直接就是定理對應的形式，有可能是定理的變種，這時候你就需要知道如何用這些定理推導出你需要的東西。打個比方來說，數學世界好比乙個大城市，關鍵的點上有地鐵站可以直達，但地鐵站外面還有大路，大路盡頭有小路，小路上有門牌號，這些大路小路有自己的排列規律。你當然可以直接坐地鐵去地鐵站，但如果你要去的地方是地鐵站旁邊的某個小地方呢？
如果你要想熟悉這個城市的每乙個角落，確保到哪都是熟門熟路，你也得離開地鐵實際用你的雙腿走一走，你說對吧？
5樓：劉杳
有很多數學的確是這樣的，尤其是應用類的（如傅利葉變換，應用中有時甚至是有限域的）。
除此之外，很多數學「知其所以然」更有趣。舉個栗子：根號2是無理數。
知道這個結論有什麼意義呢？可以不用浪費計算器來算迴圈節？不論是數的證明還是幾何的證明，都更有意思。
想通了就能體會其中的妙趣。
傅利葉變換恰恰是微積分嚴謹化的重要催化劑，直至實數的本質。如果能想通這裡，又有很多妙趣。（這個不可操之過急，數學家都是幾代人的努力才完成的。）
很多人把數學與登山模擬，數學家會攀登人類從未涉足的高峰，普通人也可以爬小的山，即便自己爬過很多遍，也能獲得樂趣（如從另一條路上去），甚至有新的體會。
6樓：Fx.HDX
「只要明白它是正確可行的不就可以了嗎？為什麼一定要證明呢？」
試問不通過證明如何明白乙個命題是正確的呢？靠直覺？還是靠經驗？
無論靠直覺還是靠經驗都有充分多的教訓告訴我們如此不嚴謹地「明白」乙個命題會給造成多麼嚴重的後果。（這些教訓在任何一本數學史讀物中都能了解到）
每乙個命題的正確性不僅關係到一兩次考試的成敗，還關切到一整個數學體系的完備性，而嚴謹證明就是「明白」乙個命題的唯一方法，也是最佳方法。
當然，大部分時候，這些美妙的證明都是天才數學家和瘋子數學家們的自娛自樂，但是這正是對人類邏輯的極限的挑戰，這才是數學證明真正的意義。
最後祭出出題的瘋子和解題的天才
7樓：幷州達人
題主可能想問的是學生在學習數學時，證明定理意義對於學生來說是什麼。
畢竟，如果放在廣義的數學研究來說，確實，使用乙個定理時，只要知道這個定理正確，被人證明過了，那就可以拿來用了。而新的證明本身則是為了驗證某個定理的正確性，這也是有意義的。
但是，對於學生來說，重複已經被證明過的定理的證明有什麼意義？
其實主要的意義在於練習，而且練習的並非直接和這個定理有關，一般來說，主要是和這個定理涉及的概念有關。
比如你想證明群論裡的第一同構定理，很顯然，如果理解了這個定理，即使不會證明，也是可以直接拿來用的。但是，學生在剛學到這個定理的時候，對於子群，餘群，同構，同胚，群核等概念可能也只是剛剛接觸，不夠熟悉，讓學生自己思考這個定理的證明，正是讓學生在思考過程中不斷熟悉這些概念的機會。在越高階的數學中，這種淺顯但是又涉及各種概念的例子就越難找到。
為了讓學生先熟悉概念之後再接觸更難的問題，一些相對簡單的定理的證明，就是最好的練習。
8樓：Yuhang Liu
對非專業人士來說，的確只需要知道某個命題已經被證明了就行了。其實僅僅是理解命題的含義本身，甚至僅僅是理解術語的定義本身，對非專業人士就已經很有挑戰性了，在現代數學的大部分分支中都是如此。
但是對數學工作者來說，「證明新的定理」就是他們的工作之一，他們就是吃這碗飯的。他們需要閱讀經典定理的證明，因為他們需要學習其中的技術，提煉出其中的想法，從而運用這些想法來解決別的數學問題。題主的問題，有點像是——「既然我不懂5G也能享受5G的技術成果，那麼造5G網路這項活動有什麼意義呢？
」——是不是覺得稍微有點傲慢？
9樓：Riemann
有時候證明過程比這個命題還重要，因為在證明的過程中用到的方法或反例會直接或間接的催生出新的數學工具，而這就是證明的意義。
10樓：Gadian
能證明就證明。
不能證明就當近似的用一用也無妨。只需牢記是有誤差和不確定性。
很多數學定理從猜想到證明花了很多年，甚至至今無法證明。但是不妨礙進行有前提的推論。
11樓：Nolwen
我覺得對我個人的益處在於，萬一哪天考試忘記哪個公式或定理了，沒準可以推導或證明出來，作為一名理工科學生，我從不刻意地去死記硬背定理和公式，要麼是用著用著自然記住了，要麼怎麼都記不住但是知道它是怎麼來的
12樓：
根據我的經驗，喜歡問大問題的學渣都是假好學。回答這些人的問題往往是浪費時間。
話說，我嚴重懷疑你是個「假學渣」。才29個回答竟然有60萬領域熱度，科學熱榜第十名。有哪位告訴我這個熱度到底是怎麼計算的？乙個回答就2萬領域熱度嗎？
還是說後台存的的熱度是60，然後前端顯示的時候後面加上「萬領域熱度」？
13樓：G.1am
看了你問題的後四個字後，我覺得你的問題應該站在學校學習的角度上，和我之前的疑惑是一樣的。
就是老師在講定理時，不是非常難的都會帶我們證明。而在證明時，會花費較多的時間，主要是即使課堂你跟懂了課後也會很快忘記。比其他知識內容忘得還快，必須反覆證明，才能記得。
然而你又會發現在考試做題的過程中，是不會用到證明過程的，只會運用到定理和技巧，那麼，初高中生證明數學定理的意義是什麼？
我就站在高中生的角度分享一下學習經驗
首先，那些數學大佬一般最喜歡的不是做高等奧數題，而是證明經典著名的定理。為什麼考試做題用不到的定理和大招的證明卻受學霸青睞？
因為它的力量是無形的
①培養自己的數學思維能力，也就是「後天的天賦"(最主要，最無形之中的作用)
同樣是記得定理，同樣是記得解題方法，可別人就是會做，而自己不會。考場上怎麼想也想不出來，下考場後立馬就想起來這個題的思路是什麼樣的。這就是兩個原因，乙個就是缺乏數學思維能力的提高，另乙個就是別人刷的題更多一些，已經做出手感了。
總而言之，數學思維能力好的人，無論題目怎麼新穎怎麼變換都難不倒他。
②根本目的:提分
⑴在高中公式，定理，大招技巧很多情況下，知道怎麼證明考場上是不用擔心遺忘的
⑵多證明推導幾遍有利於記憶和運用，以及在遇到新型題型時，可以自己尋找，推導變式
⑶定理的證明過程所用到的思維，技巧，方式，在很多的大題中是用的到的，知識的遷移有利於幫助解決難度高的題。個人感觸最深的就是圓錐曲線裡的大招和公式，以及它的多個定義證明圓錐曲線。
(最近幾年北京的物理似乎就是出現了直接就讓你證明某個公式的大題，這就很需要學科思維了。還有一年山東卷的數學乙個大題是讓你證明余弦公式，就是畫乙個圓，建立座標系那個)
③提高學科素養，激發自己的興趣愛好。
這條就是針對數學比較好的人了，因為對那些數學大佬來說，巴不得把每乙個數學題都摸透，更別說常用的定理了。而且，推出一些高難度的定理還是非常有自豪感，同時還會增加自己對數學這門學科的喜愛。在上課時，比如說講計數原理中的組合數時，老師的要求就是衝頂班要知道他是怎麼推導出來的，而提公升班和尖端班則不需要。
因為如果你只想提分的話，光靠刷題，也還是勉強可以的。
到這裡，就祝各位數學弱勢的童鞋能夠大神附體，早日擺脫噩夢;祝各位數學大佬，，，，，，呃，，，，，，大佬永遠都是大佬。
14樓：美見view
證明數學定理的意義在於，物質世界的構建可以有規則的表達、許多現象可以有確定的解釋、或者不能確定的現象也可以有個大概的推論等等。
15樓：[已重置]
你去看醫生，醫生說你得摘掉膽囊，因為上次有個病人跟你一樣的症狀，摘掉膽囊就好多了。
他只是靠過去的經驗給你治病，沒有科學依據，你願意接受這個方案麼？
16樓：捨本求末
等到人們不愁吃穿用行，過上無憂的日子，不為生活所煩惱時。那麼追求永恆的真理和永恆的美就是人的終極目標，不然就沒有存在的意義，去探索未知，追求真理才是真諦
17樓：李廣明
數學是研究邏輯，結構，關係，運算等的乙個學科。你可以這樣理解，數學是有劇情的。數學的每個分支都是一棵樹，而不是乙個個的貨櫃。定理的前置和後延的地位，不低於定理的使用。
18樓：曹力科
不去證明，你怎麼知道是正確的？
下面的這個命題，你覺得對嗎？
通過乙個不在直線上的點，有且僅有一條平行線。
很多人肯定會說：這還用說，肯定對啊，這麼明顯的事還不對嗎？
但是很遺憾，這個命題都不能被證明。
不能證明，沒關係，我們可以假設他是對的。好的，歐幾里得也是這麼想的。於是他搞出了一套幾何，人們叫他歐式幾何。也就是中國中小學學的那一套幾何。
通過直線外一點，有且只有一條平行線
既然他歐幾里得假設「通過乙個不在直線上的點，有且僅有一條平行線」。那可不可以假設「通過乙個不在直線上的點，至少可以找到兩條不同的平行線」？
好的，羅巴切夫斯基也是這麼想的。於是他也搞出了一套幾何，人們叫他羅氏幾何。
羅氏幾何
聰明的你一定發現了，還有一種情況可以假設，那就是「過直線外的一點，不存在任何一條直線與原直線平行」。
好的，黎曼也是這麼想的。當然不出意外他也搞出了一套幾何，人們叫他「黎曼幾何」。
那這麼個黎曼幾何有用嗎？這麼說吧，黎曼幾何是廣義相對論的數學基礎。
黎曼幾何
所以你看，即使看起來很明顯的事，如果不能證明是正確的，那也可能在不同的假設下得出不同的結論。
小學時候老師就告訴我：能證明的東西，就不要假設。如果乙個命題得到了證明，那麼以後別人就可以放心用，大膽用，想怎麼用怎麼用。這就是證明的意義。
這個故事告訴我們：
取名字的時候一定不要取太長！不然人家黎曼同學的幾何可以直接叫「黎曼幾何」，歐幾里得和羅巴切夫斯基的就只能被大家稱為「歐式幾何」「羅氏幾何」。
證明的定義是什麼？證明的意義是什麼？
執悲今厄 證明的意義就是讓人們擁有大智慧型。如果你不會證明，那麼你就會看著上面的句子若有所思，然後就這樣荒廢時間荒廢精力而且還影響認知 如果你會證明，那麼你就會瞬間發現上面那句話狗屁不通，於是就不再浪費時間在那句話上面。證明的真正意義就在於剷除虛偽。注 第一行僅為反例，第一行並非答案，最後一行才是答...
數學定理是不是都有幾何意義？
李良敖飛 有自己對應的幾何意義，在高維空間中的幾何意義已經不具有什麼現實意義並且難以想像，只能在拓撲學之中有乙個抽象的理解，所以數學現在更偏向理性的代數運算與邏輯推導。 algebraicstack 每個交換代數的定理倒是都有其幾何意義。比如Matsumura有本交換代數，要是不知道幾何意義的話多半...
數學類課程定理的複雜證明有必要掌握嗎？
有時間最好掌握好。分析中的技巧和方法，很多隱藏在定理證明中。打下紮實的基本功，即使對AI研究也是大有幫助。證明不需要背下來，也不一定要強求自己能夠復現,自己能夠知道大概用什麼技巧什麼思路即可。如果你想做數學家，另當別論 AI用到的總體數學工具不算複雜，但是好的分析功底能讓你偶爾看到小證明時候沒這麼吃...