壓縮對映定理為什麼可以證明隱函式定理？

1樓：aleph

事實上壓縮對映定理可以把反函式定理秒了

然後反函式定理又可以把隱函式定理秒了

(我筆記上圖省事是按這個證明順序記的。。。。

(滑稽保命

2樓：

隱函式定理是說，如果，並且滿足一些條件，那麼在這個點的區域性，在方程中可以對每個解出唯一的。（是賦範向量空間）

主要想法是，因為非線性不好處理，我們在區域性對進行線性逼近。不妨設、。這樣，假設可微，就可以 Taylor 展開，其中是有界的線性對映，餘項比線性對映接近0的速度更快 (sublinear)。

因為我們希望對固定的有唯一的，自然我們就要求是可逆對映（不然能找到乙個子空間使得的值相同，這樣振盪一下就能讓不唯一）。

下面就要解方程。這裡接近0的速度很快，是有界線性對映，所以我們希望接近0的速度很快，這樣在區域性通過迭代就能找到這個解（想象對乙個在原點附近和一條水平線相切且過原點的一元函式進行迭代）。我們希望是有界線性對映，這就要求是完備的空間。

這樣就可以找乙個原點附近很小的鄰域迭代找出，也就是利用壓縮對映原理。因為線性對映會根據值變化，為了讓估計成立它們不能在區域性振盪太大。這樣就要求在這一點連續。

有了這些條件就可以找出了，它的導數，如果存在，一定等於。再用基本的估計方法就可以了，如果不行就再想辦法縮小鄰域，畢竟在原點附近是 sublinear 的......

然後如果把整個證明完整寫下來，就發現實際上我們對沒有任何要求，如果把放進裡面，都不一定需要存在。所以 Zorich 說了，不需要是賦範向量空間，只需要是拓撲空間。

這樣我們的隱函式定理就是：

設是拓撲空間，是 Banach 空間，是賦範向量空間，是點的鄰域，對映滿足 (i) 、(ii) 在點連續、(iii) 對可導，並且在點連續、可逆。那麼存在的鄰域以及對映使得 (iv) 、(v) 滿足當且僅當、(vi) 在點連續。

如果進一步假設在中連續，那麼可找到適當鄰域使得在中連續。

如果進一步假設是賦範向量空間，在中存在、在點連續，那麼在點可微，並且。

如果進一步假設，那麼可找到適當鄰域使得。

如果這些條件差一點，都會有反例的。比如，我們學校有個著名教授說，存在乙個可微函式使得處處有界、可逆，但在原點附近沒有反函式。不過如果是有限維空間，那麼可以把在連續的條件弱化成在某個鄰域中處處可逆。

我還沒想出來這個結論如何證明。

3樓：

因為隱函式定理就是要從方程 f(x, y)=0 裡面解出 y，如果你學過數值計算的話應該知道解方程有種辦法叫迭代法，就是把要解的方程方程改寫成 T(x)=x 的形式，然後造乙個迭代序列

x_ = T(x_n), x_0適當選取

如果T連續並且x_n→x*，那麼x*就是方程的解，即T的不動點這個做法的關鍵在於確保 x_n 的收斂性，而這就是壓縮對映原理的功能前面已經說了壓縮對映原理和解方程這兩件事情是怎麼扯到一起的。回到隱函式定理的證明，你只需要把你要解的方程 f(x, y)=0 轉化成求

T(y) = y - f(x, y)

的不動點，然後你再研究一下 T 是否是壓縮對映就行了。大致的思路就是這樣，當然其中有些細節還是比較具有技巧性的，這些應該在數分書上都有

4樓：David KZ

隱函式存在唯一定理：

設、和是三個Banach空間，、分別是、中的開集，設函式：

是光滑的，且存在使得：

, 則在的鄰域上存在唯一的函式滿足：

,是光滑的.

注意到以下幾個事實：

閉集上的所有函式可以定義乙個Banach空間，實際上有乙個經典的函式度量，我們把上的所有函式在這樣度量下定義的度量空間稱為，那容易證明這是乙個Banach空間；

隱函式滿足的性質是函式空間上的乙個等式，可以構造不動點；

我們的目標是證明存在唯一性，不動點也是存在唯一的。

以這樣的目的，我們可以構造乙個對映 :

如此只要我們找到這個對映的不動點，我們也就找到了隱函式。

而我們需要的就是說明這個對映是壓縮對映，而這一點的關鍵就在於利用微分中值定理，以及閉集上的連續函式總是Lipschitz的這一點，利用Lipschitz常數控制函式的導數從而使得是壓縮的。

證明中地關鍵步驟在於說明

也就是我們可以精確地控制這個偏導的取值範圍，但是這一點其實不難，因為我們要求了，所以在乙個閉鄰域上很容易做到這一點。

更進一步地，思考這一點的意義，之所以我們可以找到這樣乙個隱函式，是因為在這個閉鄰域上式的成立，而這就說明在這個區域性上對存在一種單調性，正是這種單調性，使得我們能夠構造乙個「穩定」的壓縮性質.