1樓：
本回答只考慮 的函式。其它空間上的結果留給讀者自行探索。
Riemann積分是個很容易想到的定義。Lebesgue積分和Stieltjes積分是兩個不同的改進方向。下面把這幾個定義放在一起。
Riemann積分有積分 的定義為：對任意 0" eeimg="1"/>存在 0" eeimg="1"/>使得對任意分劃 以及選點 ，如果 ，那麼就有 。
Riemann積分對很多函式沒有定義，是因為這個「全域性」的 限制太強。把它換成乙個區域性的 ，就能得到乙個更好的積分。[1]
Lebesgue積分有積分 的定義為：對任意 0" eeimg="1"/>存在 使得對任意分劃 以及選點 ，如果 ，那麼就有 。
函式 可積，定義為 都可積，積分等於 。
Riemann積分對很多函式沒有定義的另乙個原因是有些函式區域性的變化太快，所以用另乙個函式 來控制就能得到更好的積分。
全域性Stieltjes積分有關於 的積分 的定義為：對任意 0" eeimg="1"/>存在 0" eeimg="1"/>使得對任意分劃 以及選點 ，如果 ，那麼就有 。
區域性Stieltjes積分有關於 的積分的定義為：對任意 0" eeimg="1"/>存在 使得對任意分劃 以及選點 ，如果 ，那麼就有 。
Stieltjes積分還有一些變種，比如把Riemann和中的 加上絕對值，就得到 。或者取非負部分得到 ，等等。
函式 有界變差的定義是 （Darboux-Stieltjes積分），所以用Stieltjes積分可以很好地研究有界變差函式。例如，對於連續的有界變差函式 可以直接寫出其分解為兩單調函式的差： 。
讀者可以自行探索在這些積分上熟悉的結論有什麼變化（我現在沒時間詳細寫）。例如，對區域性Stieltjes積分來說分部積分公式多了一項： 。
換元公式的條件就比較麻煩了，但可以匯出Riemann積分的乙個很完美的換元定理：
習題如果 Riemann可積， 定義為 ， 有界，那麼下面的公式中只要其中乙個積分存在，另外兩個積分也存在，並且等式成立： （第二個積分是全域性Stieltjes積分）。
2樓：TravorLZH
在數論上還是有不少意義的，RS積分對於此類求和有非常大的幫助：
其中f在[a,b]中滿足導數連續，現在定義 ，則有：
其中為了更貼近現實，我們要求 ，則 當且僅當 中存在整數。所以我們只需要對中間有整數的區間 求和，即：
然而根據f的連續性，可知 時有 ，所以我們最終得到：
利用分部積分法，我們便能得到：
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