1樓：G.Cui
我並沒有解決問題，只是來拋磚引玉。
定義（Weierstrass函式）：Weierstrass函式是指形如 ( 滿足某些條件)[1]的函式族。
可以證明：
命題：若 ， 為正奇數，當 1+\frac\pi" eeimg="1"/>時，函式處處不可導[2]。（這裡不是最緊的條件，還可以再改進，這裡不再贅述。）
證明見參考，這裡略。
因為三角函式的有界性，所以當 是正整數時，平凡的有 ，這些點就都是極值點，還是最值點。
實際上我感覺「絕大多數」點都是極值點，但我只能做出它不存在單調區間，似乎這並不能說明什麼。更精細的結論我是無能為力的，還得請其他大佬。
我們需要乙個實變函式的定理：
定理（Lebesgue）：單調函式是幾乎處處可導的[3]。
很容易得出下面的命題：
命題：Weierstrass函式是無處單調的，即對 0" eeimg="1"/>, 在 不單調。
利用上面的命題，反證就好了。
另，查詢資料中：
結論一：極值點在 中稠密。
這是因為有結論：如果 是無處單調的連續函式，那麼 的極大（小）值點組成的集合在 中稠密。更進一步地，這兩個集合都是第一綱的[4]。
結論二：極值點集合是至多可數的[5]。
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